İntegral Hesaplayıcı

İntegral hesaplayıcı ne yapar?

İki iş yapar. Belirli integralde, verdiğiniz alt ve üst sınır arasında eğrinin altındaki işaretli alanı sayısal olarak hesaplar ve sonucun yanında bir hata tahmini verir. Belirsiz integralde, fonksiyonun ilkel işlevini simgesel olarak bulmaya çalışır. İlkel bulunursa formül olarak gösterilir, bulunamazsa araç bunu açıkça söyler ve tahmin yürütmez.

Belirli integral nasıl hesaplanır?

Uyarlamalı Simpson yöntemi kullanılır: aralık parçalara bölünür, her parçada Simpson kuralı iki farklı incelikte uygulanır ve aradaki fark istenen duyarlığın altına inene kadar parça ikiye bölünür. Simpson kuralı bir parçada şudur: (b − a)/6 · (f(a) + 4·f((a + b)/2) + f(b)). Sonuç ayrıca 15 noktalı Gauss-Legendre kuralıyla bağımsız olarak hesaplanıp karşılaştırılır. Uç noktada tanımsız olan integrallerde ve sonsuz sınırlarda uç noktayı kullanmayan Gauss-Legendre kuralına geçilir. Sınır olarak sayı, pi/2 gibi bir ifade ya da sonsuz için inf yazabilirsiniz.

Belirsiz integralde hangi sınıflar çözülür?

• Polinomlar ve kuvvetler, 1/x
• sin, cos, tan, üstel, ln ve ters trigonometrik işlevler, bağımsız değişken doğrusal olduğunda: sin(2x + 1)
• Polinom çarpı üstel, sinüs, kosinüs ya da ln: x·eˣ, x²·cos x, x·ln x (kısmi integrasyon)
• f(g(x))·g′(x) biçimi: 2x·e^(x²), x/(x² + 1), sin x·cos x (yerine koyma)
• Doğrusal yerine koyma: x·√(x + 1), x/(x + 1)
• İkinci derece paydalar: 1/(x² + 4), 1/√(1 − x²)

Sonuç nasıl sınanır?

Bulunan her ilkel işlevin türevi alınır ve birçok noktada integrandla karşılaştırılır. Sınamayı geçemeyen aday gösterilmez. Belirli integralde ilkel biliniyorsa F(b) − F(a) değeri sayısal sonuçla yan yana verilir.

Örnek

x^2 fonksiyonunu 0 ile 3 arasında integre edin. İlkel işlev x³/3 olur. Üst sınırda 27/3 = 9, alt sınırda 0 eder, integral 9 çıkar. Sayısal yöntem de aynı değeri verir.

Sınırlar

Simgesel bölüm bir bilgisayar cebir sistemi değildir: kısmi kesirlere ayırma, trigonometrik yerine koyma ve iç içe kısmi integrasyon (eˣ·sin x gibi) yapılmaz, bu durumlarda bulunamadı der. e^(−x²) ve sin(x)/x gibi işlevlerin temel işlevlerle yazılan ilkeli zaten yoktur. Aralığın içinde tanımsız nokta varsa (1/x için −1 ile 1 arası gibi) araç sonuç vermez: integrali o noktadan bölüp iki ayrı has olmayan integral olarak hesaplayın. Iraksak integrallerde ve çok hızlı salınan integrandlarda yöntem yakınsamaz, araç bunu bildirir. Açılar radyandır.