Calculadora de integrales

¿Qué hace la calculadora de integrales?

Realiza dos tareas. Para una integral definida, calcula numéricamente el área con signo bajo la curva entre los límites inferior y superior e indica una estimación del error junto al resultado. Para una integral indefinida, intenta hallar una primitiva simbólica. Si la encuentra, la muestra como fórmula. Si no, lo indica sin inventar una respuesta.

¿Cómo se calcula la integral definida?

Se utiliza la cuadratura adaptativa de Simpson: el intervalo se divide en paneles, se aplica la regla de Simpson a cada panel con dos niveles de refinamiento y se divide el panel por la mitad hasta que la diferencia sea menor que la precisión buscada. En un panel, la regla es (b − a)/6 · (f(a) + 4·f((a + b)/2) + f(b)). El resultado también se calcula por separado con una regla de Gauss y Legendre de 15 puntos y se comparan ambos valores. Si el integrando no está definido en un extremo o hay límites infinitos, la herramienta usa la regla de Gauss y Legendre, que nunca evalúa los extremos. Un límite puede ser un número, una expresión como pi/2 o inf para infinito.

¿Qué integrales indefinidas resuelve?

• Polinomios y potencias, 1/x
• sin, cos, tan, exponenciales, ln y funciones trigonométricas inversas con argumento lineal: sin(2x + 1)
• Un polinomio por una exponencial, seno, coseno o ln: x·eˣ, x²·cos x, x·ln x (integración por partes)
• La forma f(g(x))·g′(x): 2x·e^(x²), x/(x² + 1), sin x·cos x (sustitución)
• Sustitución lineal: x·√(x + 1), x/(x + 1)
• Denominadores cuadráticos: 1/(x² + 4), 1/√(1 − x²)

¿Cómo se comprueba el resultado?

Se deriva cada primitiva encontrada y se compara con el integrando en muchos puntos. No se muestra una candidata que no supere la comprobación. Para una integral definida con primitiva conocida, se muestra el valor F(b) − F(a) junto al resultado numérico.

Ejemplo

Integra x^2 de 0 a 3. La primitiva es x³/3. En el límite superior da 27/3 = 9 y en el inferior 0, por lo que la integral es 9. El método numérico devuelve el mismo valor.

Límites

La parte simbólica no es un sistema de álgebra computacional: no realiza descomposición en fracciones simples, sustitución trigonométrica ni integración por partes cíclica (como eˣ·sin x), y en esos casos indica que no encontró una primitiva. Funciones como e^(−x²) y sin(x)/x no tienen primitiva en funciones elementales. Si el integrando no está definido dentro del intervalo (como 1/x entre −1 y 1), la herramienta no da un resultado: divide la integral en ese punto y calcula dos integrales impropias. El método numérico puede no alcanzar la precisión buscada debido a divergencia, oscilaciones rápidas o un intervalo difícil. La falta de convergencia no demuestra por sí sola que la integral diverja. Los ángulos están en radianes.