Calculateur d’intégrales

Quel est le rôle du calculateur d’intégrales ?

Il propose deux calculs. Pour une intégrale définie, il calcule numériquement l’aire algébrique sous la courbe entre les bornes inférieure et supérieure et fournit une estimation d’erreur. Pour une intégrale indéfinie, il recherche une primitive symbolique. S’il en trouve une, il affiche sa formule. Sinon, il l’indique sans proposer de résultat inventé.

Calcul de l’intégrale définie

La méthode est une quadrature adaptative de Simpson. L’intervalle est divisé en panneaux. La règle de Simpson est appliquée à deux niveaux de raffinement, puis le panneau est divisé en deux jusqu’à ce que l’écart passe sous la précision visée. Pour un panneau, la règle est (b − a)/6 · (f(a) + 4·f((a + b)/2) + f(b)). Une règle de Gauss-Legendre à 15 points fournit aussi un résultat indépendant, comparé au premier. Si la fonction n’est pas définie à une extrémité ou si une borne est infinie, l’outil utilise la règle de Gauss-Legendre, qui n’évalue jamais les extrémités. Une borne peut être un nombre, une expression telle que pi/2 ou inf pour l’infini.

Quelles primitives sont prises en charge ?

Polynômes et puissances, 1/x.

Fonctions sin, cos, tan, exponentielles, ln et fonctions trigonométriques réciproques d’un argument affine : sin(2x + 1).

Produit d’un polynôme par une exponentielle, un sinus, un cosinus ou ln : x·eˣ, x²·cos x, x·ln x (intégration par parties).

Forme f(g(x))·g′(x) : 2x·e^(x²), x/(x² + 1), sin x·cos x (changement de variable).

Changement de variable affine : x·√(x + 1), x/(x + 1).

Dénominateurs du second degré : 1/(x² + 4), 1/√(1 − x²).

Vérification du résultat

Chaque primitive trouvée est dérivée et comparée à la fonction intégrée en de nombreux points. Une primitive candidate qui échoue à cette vérification n’est pas affichée. Pour une intégrale définie dont une primitive est connue, la valeur F(b) − F(a) apparaît à côté du résultat numérique.

Exemple

Intégrez x^2 de 0 à 3. La primitive est x³/3. À la borne supérieure, elle vaut 27/3 = 9, et à la borne inférieure, 0. L’intégrale vaut donc 9. La méthode numérique donne la même valeur.

Limites

La partie symbolique n’est pas un système de calcul formel complet : elle ne traite ni la décomposition en éléments simples, ni les changements de variable trigonométriques, ni les intégrations par parties cycliques comme eˣ·sin x. Dans ces cas, elle indique qu’aucune primitive n’a été trouvée. Des fonctions telles que e^(−x²) et sin(x)/x n’ont aucune primitive élémentaire. Si la fonction n’est pas définie à l’intérieur de l’intervalle, par exemple 1/x entre −1 et 1, l’outil ne donne aucun résultat. Scindez l’intégrale en ce point et calculez deux intégrales impropres. La méthode numérique peut manquer la précision visée à cause d’une divergence, d’oscillations rapides ou d’un intervalle difficile. Un échec de convergence ne prouve pas à lui seul que l’intégrale diverge. Les angles sont en radians.