Asal Eksen ve Asal Atalet Momenti Hesaplama

Asal eksen nedir?

Bir kesitin atalet momenti, hangi eksene göre alındığına bağlıdır. Eksenler kesitin içinde döndürüldükçe I_x ve I_y değişir. Bir açıda atalet momenti en büyük değerini, ona dik eksende en küçük değerini alır. Bu iki eksene asal eksenler, değerlere asal atalet momentleri denir. Asal eksenlerde çarpım atalet momenti sıfırdır.

Simetri ekseni olan kesitlerde (I profil, kutu, U profil) asal eksenler zaten simetri eksenleridir. Köşebent ve Z profil gibi simetrik olmayan kesitlerde ise asal eksenler eğiktir ve hesapla bulunur.

Formüller

• Asal atalet momentleri: I₁, I₂ = (I_x + I_y) / 2 ± √(((I_x − I_y) / 2)² + I_xy²)
• Asal eksen açısı: tan 2θ = −2 × I_xy / (I_x − I_y)
• Değişmez toplam: I₁ + I₂ = I_x + I_y

Açı x ekseninden ölçülür, saat yönünün tersine artıdır. Bu bağıntılar gerilmedeki Mohr dairesiyle aynı yapıdadır: dairenin merkezi (I_x + I_y) / 2, yarıçapı karekökün içidir.

Örnek

Köşe yuvarlaması olmayan 100 × 100 × 10 mm köşebentte ağırlık merkezi eksenlerine göre I_x = I_y = 180.0 cm⁴ ve I_xy = −106.6 cm⁴ bulunur. İki atalet momenti eşit olduğundan yarıçap doğrudan 106.6 olur. I₁ = 180.0 + 106.6 = 286.6 cm⁴, I₂ = 180.0 − 106.6 = 73.4 cm⁴ çıkar. En büyük atalet ekseni 45 derecededir, yani köşebentin simetri eksenidir.

Neden önemli?

Basınç çubuğu en zayıf ekseni çevresinde burkulur: köşebentte belirleyici olan I₂ ve ona karşılık gelen en küçük atalet yarıçapıdır. Simetrik olmayan bir kiriş asal eksenlerinden biri doğrultusunda yüklenmezse eğik eğilir, bu durumda moment asal eksenlere ayrılarak hesaplanır.

Sınırlar

Araç yalnız eksen dönüşümünü yapar. Üç girdinin aynı noktadan geçen eksenlere göre olması gerekir. Hadde profillerinde köşe yuvarlamaları yüzünden tablo değerleri köşeli hesaptan birkaç yüzde farklıdır.