Calculateur d’axes et de moments quadratiques principaux
Moments quadratiques principaux I1 et I2, angle des axes principaux et produit d’inertie maximal à partir de Ix, Iy et Ixy. Aussi Iu, Iv, Iuv pour des axes tournés.
Que sont les axes principaux ?
Le moment quadratique d’une section dépend de l’axe considéré. Lorsque les axes tournent dans le plan de la section, I_x et I_y varient. Pour une orientation, le moment atteint son maximum et, autour de l’axe perpendiculaire, son minimum. Ces axes sont les axes principaux et ces valeurs les moments quadratiques principaux. Leur produit d’inertie est nul.
Les sections symétriques (profils en I, caissons, profils en U) ont déjà leurs axes principaux suivant les axes de symétrie. Pour les sections dissymétriques comme les cornières et les profils en Z, les axes principaux sont inclinés et doivent être calculés.
Formules
- Moments principaux : I₁, I₂ = (I_x + I_y) / 2 ± √(((I_x − I_y) / 2)² + I_xy²)
- Angle des axes principaux : tan 2θ = −2 × I_xy / (I_x − I_y)
- Somme invariante : I₁ + I₂ = I_x + I_y
L’angle est mesuré depuis l’axe x, positivement dans le sens trigonométrique. Ces relations ont la même forme que le cercle de Mohr des contraintes : le centre est (I_x + I_y) / 2 et le rayon est le terme sous racine.
Exemple
Une cornière de 100 × 100 × 10 mm sans congés possède I_x = I_y = 180,0 cm⁴ et I_xy = −106,6 cm⁴ par rapport aux axes passant par son centre de gravité. Les deux moments étant égaux, le rayon vaut simplement 106,6. Ainsi I₁ = 180,0 + 106,6 = 286,6 cm⁴ et I₂ = 180,0 − 106,6 = 73,4 cm⁴. L’axe du moment maximal est à 45 degrés, suivant l’axe de symétrie de la cornière.
Utilité
Un élément comprimé flambe suivant son axe le plus faible : pour une cornière, c’est I₂ avec le rayon de giration minimal correspondant. Une poutre dissymétrique chargée hors de ses axes principaux subit une flexion déviée : le moment doit alors être décomposé suivant ces axes.
Limites
L’outil effectue uniquement la transformation des axes. Les trois valeurs saisies doivent se rapporter à des axes passant par le même point. Pour les profils laminés, les congés entraînent un écart de quelques pour cent entre les valeurs tabulées et le calcul sans arrondis géométriques.
Questions fréquentes
Comment calculer les angles des axes principaux ?
Par exemple, Ix = 200 cm⁴, Iy = 100 cm⁴ et Ixy = 50 cm⁴ donnent des angles principaux de -22,5° et 67,5°. La relation d’angle double annule le produit d’inertie. Les angles sont mesurés dans le sens trigonométrique depuis l’axe x initial, les axes saisis étant perpendiculaires et passant par le même point.
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