Massenträgheitsmoment berechnen

Was ist das Massenträgheitsmoment?

Die Masse beschreibt den Widerstand eines Körpers gegen lineare Beschleunigung. Das Massenträgheitsmoment überträgt diese Idee auf die Rotation. Es bestimmt das zum Beschleunigen oder Abbremsen um eine Achse erforderliche Drehmoment. In T = I × α ist I das Trägheitsmoment und α die Winkelbeschleunigung. Die Einheit ist kg·m².

Es hängt von der Masse und ihrem Abstand zur Achse ab. Der Abstand geht quadratisch ein. Deshalb hat ein Ring das doppelte Trägheitsmoment einer Vollscheibe gleicher Masse und gleichen Durchmessers.

Häufige Formeln

Vollzylinder oder Scheibe um die eigene Achse: I = ½ × m × r² Hohlzylinder: I = ½ × m × (r_outer² + r_inner²) Dünner Ring: I = m × r² Vollkugel: I = ⅖ × m × r² Schlanker Stab um die Mitte: I = m × L² / 12 Quader: I = m × (a² + b²) / 12

Steinerscher Satz

Verläuft die Achse nicht durch den Massenmittelpunkt, addieren Sie m × e² zum Wert um die parallele Schwerpunktachse. e ist der Abstand der Achsen. Ein 1,2 m langer Stab mit 2 kg hat um seine Mitte I = 0,24 kg·m². Um sein Ende ergibt sich 0,24 + 2 × 0,6² = 0,96 kg·m².

Beispiel

Eine Vollscheibe mit 10 kg und 200 mm Durchmesser dreht um ihre eigene Achse. Ihr Trägheitsmoment beträgt ½ × 10 × 0,1² = 0,05 kg·m². Um sie in 1 Sekunde aus dem Stillstand auf 1500 rpm zu beschleunigen, sind 0,05 × 157 = 7,85 N·m erforderlich.

Grenzen

Die Formeln gelten für homogene Körper einfacher Form. Zerlegen Sie komplexe Teile in einfache Teilkörper, beziehen Sie alle auf die gemeinsame Achse und addieren Sie die Werte. Alternativ verwenden Sie die Masseneigenschaften eines CAD Programms. Verwechseln Sie diese Größe nicht mit dem Flächenträgheitsmoment für Träger.

Häufige Fragen

Wie berechnet man das Massenträgheitsmoment mit dem Steinerschen Satz?

Ein homogener Vollzylinder mit 10 kg Masse und 200 mm Durchmesser hat beispielsweise um eine zur Längsachse parallele, um 100 mm versetzte Achse ein Trägheitsmoment von 0,15 kg·m². Der Steinersche Satz addiert Masse mal Quadrat des Achsversatzes zum Schwerpunktmoment. Unterschiedliche Dichten und komplexe Baugruppen sind in diesem Beispiel ausgeschlossen.

Mit diesen Werten berechnen