Calculadora de eixos e momentos principais de inércia

O que são eixos principais?

O momento de inércia de área de uma seção depende do eixo em relação ao qual é calculado. Quando os eixos giram no plano da seção, I_x e I_y mudam. Em um ângulo, o momento de inércia atinge o máximo e, no eixo perpendicular, o mínimo. Esses dois eixos são os eixos principais, e os valores são os momentos principais de inércia. O produto de inércia é zero nos eixos principais.

Seções com eixo de simetria (perfis I, seções caixão, perfis U) já têm eixos principais alinhados aos eixos de simetria. Em seções sem simetria, como cantoneiras e perfis Z, os eixos principais são inclinados e precisam ser calculados.

Fórmulas

• Momentos principais: I₁, I₂ = (I_x + I_y) / 2 ± √(((I_x − I_y) / 2)² + I_xy²)
• Ângulo do eixo principal: tan 2θ = −2 × I_xy / (I_x − I_y)
• Soma invariante: I₁ + I₂ = I_x + I_y

O ângulo é medido a partir do eixo x, positivo no sentido anti-horário. Essas relações têm a mesma forma do círculo de Mohr para tensões: o centro é (I_x + I_y) / 2 e o raio é o termo da raiz quadrada.

Exemplo

Uma cantoneira de 100 × 100 × 10 mm sem raios de concordância tem I_x = I_y = 180,0 cm⁴ e I_xy = −106,6 cm⁴ em relação aos eixos centroidais. Com os dois momentos iguais, o raio é simplesmente 106,6. Assim, I₁ = 180,0 + 106,6 = 286,6 cm⁴ e I₂ = 180,0 − 106,6 = 73,4 cm⁴. O eixo de inércia máxima está a 45 graus, que é o eixo de simetria da cantoneira.

Por que isso importa

Uma barra comprimida sofre flambagem em torno do eixo mais fraco. Para uma cantoneira, esse eixo corresponde a I₂ e ao raio de giração mínimo. Uma viga sem simetria carregada fora dos eixos principais sofre flexão oblíqua, e o momento precisa ser decomposto nesses eixos.

Limites

A ferramenta faz somente a transformação dos eixos. As três entradas devem se referir a eixos que passam pelo mesmo ponto. Em perfis laminados, os raios de concordância fazem os valores tabelados diferirem alguns por cento do cálculo com cantos vivos.

Perguntas frequentes

Como calcular os ângulos dos eixos principais?

Por exemplo, Ix = 200 cm⁴, Iy = 100 cm⁴ e Ixy = 50 cm⁴ fornecem ângulos dos eixos principais de -22,5° e 67,5°. A relação de ângulo duplo zera o produto de inércia. Os ângulos são medidos no sentido anti-horário a partir do eixo x original, com eixos de entrada perpendiculares passando pelo mesmo ponto.

Calcular com estes valores