Résolution d’équations

Après extraction des racines rationnelles, les racines d’un facteur du second degré restant peuvent être affichées sous forme exacte avec radicaux. Aucune formule générale par radicaux n’est fournie aux degrés supérieurs.

Quel est le rôle de cet outil ?

Il lit une équation à une inconnue telle que vous la saisissez et en trouve les racines. Une équation polynomiale est résolue selon son degré : isolement de l’inconnue au premier degré, discriminant et formule du second degré, classification par le discriminant de Cardan au troisième degré, puis recherche numérique de toutes les racines réelles et complexes aux degrés supérieurs, jusqu’à 12. Pour une équation non polynomiale, telle que sin(x) = x/2, il recherche les racines réelles dans l’intervalle fourni. Le second onglet résout un système linéaire à 2, 3 ou 4 inconnues par élimination de Gauss, étape par étape.

Formule du second degré

Pour a·x² + b·x + c = 0, le discriminant est Δ = b² − 4ac. S’il est positif, il existe deux racines réelles distinctes. S’il est nul, il existe une racine double. S’il est négatif, il existe deux racines complexes conjuguées. Les racines sont x = (−b ± √Δ) / (2a).

Exemple

Saisissez x^2 - 5x + 6 = 0. Avec a = 1, b = −5 et c = 6, le discriminant vaut Δ = 25 − 24 = 1. Les racines sont (5 − 1)/2 = 2 et (5 + 1)/2 = 3. Vérifiez par substitution : 4 − 10 + 6 = 0 et 9 − 15 + 6 = 0.

Résultats exacts et approchés

Avec des coefficients entiers, fractionnaires ou décimaux, les calculs utilisent des fractions. Les racines rationnelles sont exactes, par exemple 3/2. Les racines du second degré avec radicaux s’écrivent par exemple (1 + √5)/2, avec leur valeur décimale à côté. Les racines multiples sont d’abord séparées par calcul exact, sans perte de précision, et leur multiplicité est indiquée. Si les coefficients contiennent des nombres irrationnels tels que π ou une racine carrée, le résultat est uniquement décimal.

Systèmes d’équations

Saisissez les coefficients dans le tableau. L’outil réduit la matrice augmentée par opérations sur les lignes et détaille les étapes. Si la solution est unique, les valeurs sont données comme fractions et décimales. Si le système admet une infinité de solutions ou aucune, l’outil l’indique.

Limites

Pour les équations non polynomiales, seules les racines réelles de l’intervalle donné sont recherchées. L’intervalle est divisé en 4000 parties et une dichotomie est appliquée à chaque changement de signe. Les racines hors de l’intervalle ou très proches peuvent être manquées. Réduisez ou élargissez l’intervalle selon le besoin. Les fonctions trigonométriques utilisent les radians. Aucune formule générale par radicaux n’est fournie aux degrés supérieurs. Un facteur du second degré restant peut donner des racines exactes avec radicaux. Les inéquations et les équations à paramètres ne sont pas prises en charge.