Rechner für Funktionswerte und Umkehrfunktionen

Was berechnet das Werkzeug?

Geben Sie eine Funktionsdefinition ein. Der Rechner bestimmt schrittweise Funktionswerte f(a), indem er x durch a ersetzt. Im Reiter zur Verkettung bildet und vereinfacht er f(g(x)) und g(f(x)). Für die Umkehrfunktion löst er y = f(x) nach x auf und vertauscht x und y zu f⁻¹(x).

Eingabe

Schreiben Sie f(x) = 2x^2 - 3x + 1 oder nur 2x^2 - 3x + 1. Verwenden Sie ^ für Potenzen. Multiplikationszeichen dürfen entfallen. Werte können ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche wie 1/2 oder Ausdrücke wie pi/2 und sqrt(2) sein. Trennen Sie mehrere Werte mit Semikolon.

Beispiel für einen Funktionswert

Für f(x) = 2x² − 3x + 1 wird f(2) gesucht. Ersetzen Sie x durch 2. Einsetzen ergibt 2·2² − 3·2 + 1 = 8 − 6 + 1 = 3. Wenn Eingaben und Operationen exakte rationale Rechnung erlauben, erscheint das Ergebnis als Bruch. Wurzeln, Trigonometrie und Konstanten wie pi können dezimal angenähert werden.

Verkettungen

Für f(g(x)) ersetzt der Rechner jedes x in f durch g(x). Bei f(x) = 2x + 1 und g(x) = x² folgt f(g(x)) = 2x² + 1, aber g(f(x)) = (2x + 1)² = 4x² + 4x + 1. Die Reihenfolge beeinflusst das Ergebnis.

Umkehrfunktion

Für lineare Funktionen ax + b und gebrochenlineare Funktionen (ax + b)/(cx + d) wird die Umkehrfunktion symbolisch bestimmt. Beispiel: In y = (2x + 1)/(x − 3) werden beide Seiten mit dem Nenner multipliziert und die Terme mit x gesammelt. Es folgt x = (3y + 1)/(y − 2). Vertauschen ergibt f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2). Das Werkzeug prüft f(f⁻¹(x)) = x.

Grenzen

Für andere Funktionen wie x², x³ + x oder eˣ gibt es keine symbolische Umkehrfunktion. Stattdessen wird f(x) = y für einen eingegebenen Wert von y gelöst. Mehrere Lösungen bedeuten, dass die Funktion nicht injektiv ist und eine Umkehrfunktion nur auf eingeschränktem Definitionsbereich existiert. Bei Nichtpolynomen werden Lösungen nur zwischen −10 und 10 gesucht. Trigonometrische Funktionen verwenden Bogenmaß. Verkettungen mit Wurzeln oder Trigonometrie werden nur grundlegend vereinfacht.

Häufige Fragen

Wie berechnet man einen Funktionswert?

Für f(x) = 3x² + 2x + 1 ergibt Einsetzen von x = 4 beispielsweise f(4) = 57. Ersetzen Sie jedes Vorkommen der Variablen und beachten Sie die Rechenreihenfolge mit Klammern und Potenzen zuerst. Bei Funktionen mit Nennern, Wurzeln oder Logarithmen müssen Sie zusätzlich prüfen, ob der Wert zum Definitionsbereich gehört.

Mit diesen Werten berechnen