Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?

Streckt oder staucht eine Matrix A einen Vektor v nur entlang seiner Richtung, ist v ein Eigenvektor: A · v = λ · v. Die Zahl λ ist der Eigenwert. Eigenwerte bestimmen etwa Eigenfrequenzen, Stabilität, Hauptspannungen, stationäre Zustände von Markovketten und die Hauptkomponentenanalyse.

Berechnung

Zuerst wird die charakteristische Gleichung det(A − λI) = 0 aufgestellt. Ihr Polynomgrad entspricht der Matrixgröße und ihre Nullstellen sind die Eigenwerte. Für 2×2 gilt λ² − tr(A) · λ + det(A) = 0. Anschließend wird für jeden Eigenwert (A − λI) · v = 0 mit dem Gaußverfahren gelöst. Die von null verschiedenen Lösungen sind Eigenvektoren.

Beispiel

Für A = [3 0, 8 −1] sind Spur 2 und Determinante −3. Aus λ² − 2λ − 3 = 0 folgen λ = 3 und λ = −1. Bei λ = 3 gilt A − 3I = [0 0, 8 −4]. Aus 8x − 4y = 0 folgt v = (1, 2). Prüfung: A · (1, 2) = (3, 6) = 3 · (1, 2).

Mehrfache und komplexe Eigenwerte

Ein Eigenwert kann eine mehrfache Nullstelle sein. Hat er weniger unabhängige Eigenvektoren als seine Vielfachheit, ist die Matrix nicht diagonalisierbar. Die Matrix [1 1, 0 1] hat nur den Eigenwert 1 und einen unabhängigen Eigenvektor (1, 0). Reelle Matrizen können auch komplexe Eigenwerte haben. Die Drehmatrix für 90 Grad hat i und −i, da kein reeller Vektor bei dieser Drehung seine Richtung beibehält.

Ergebnisse

Angezeigt werden charakteristisches Polynom, rationale Eigenwerte exakt und andere als Wurzelausdruck oder Dezimalzahl, algebraische und geometrische Vielfachheiten, Eigenvektoren, relative Residuen ‖A · v − λ · v‖∞ / (‖A‖∞ · ‖v‖∞) sowie Spur und Determinante zur Prüfung. Sind alle Eigenwerte rational und die Matrix diagonalisierbar, werden auch P und D ausgegeben.

Grenzen

Die maximale Größe ist 6×6. Zellen akzeptieren nur Zahlen, keine symbolischen Matrizen. Eigenvektoren nicht rationaler Eigenwerte sind dezimal. Verallgemeinerte Eigenvektoren und die Jordansche Normalform sind ausgeschlossen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix mit zwei Zeilen und Spalten?

Die Matrix mit Zeilen [2, 1] und [1, 2] hat beispielsweise die Eigenwerte 1 und 3. Setzen Sie die charakteristische Determinante gleich null und lösen Sie die quadratische Gleichung. Ihre Nullstellen sind bei diesem symmetrischen Beispiel reell, können bei anderen Matrizen aber mehrfach oder komplex sein.