Özdeğer ve Özvektör Hesaplama

Özdeğer ve özvektör nedir?

Bir A matrisi bir v vektörünü yalnız uzatıp kısaltıyor ama yönünü değiştirmiyorsa v o matrisin özvektörüdür: A · v = λ · v. Buradaki λ sayısına özdeğer denir. Özdeğerler titreşim frekanslarını, kararlılığı, asal gerilmeleri, Markov zincirlerinin denge durumunu ve temel bileşen analizini belirler.

Nasıl bulunur?

Önce karakteristik denklem kurulur: det(A − λI) = 0. Bu, derecesi matrisin boyutuna eşit bir polinomdur ve kökleri özdeğerlerdir. 2×2 matriste denklem λ² − iz(A) · λ + det(A) = 0 olur. Sonra her özdeğer için (A − λI) · v = 0 sistemi Gauss elemeyle çözülür, sıfırdan farklı çözümler özvektörlerdir.

Örnek

A = [3 0, 8 −1] için iz 2, determinant −3 olur. Denklem λ² − 2λ − 3 = 0, kökler λ = 3 ve λ = −1 çıkar. λ = 3 için A − 3I = [0 0, 8 −4] ve 8x − 4y = 0 eşitliğinden v = (1, 2) bulunur. Sağlama: A · (1, 2) = (3, 6) = 3 · (1, 2).

Katlı ve karmaşık özdeğerler

Bir özdeğer karakteristik polinomun katlı kökü olabilir. Bu durumda bağımsız özvektör sayısı kök katından az çıkabilir ve matris köşegenleştirilemez: [1 1, 0 1] matrisinin tek özdeğeri 1, tek bağımsız özvektörü (1, 0) olur. Gerçel bir matrisin özdeğerleri karmaşık da olabilir. 90 derecelik dönme matrisinin özdeğerleri i ve −i olur, çünkü dönme hiçbir gerçel vektörün yönünü korumaz.

Araç neyi verir?

Karakteristik polinomu, özdeğerleri (kesirliyse tam, değilse köklü ya da ondalık), her özdeğerin cebirsel ve geometrik katını, özvektörleri, her özvektör için A · v − λ · v artığını ve iz ile determinant sağlamasını verir. Bütün özdeğerler kesirliyse ve matris köşegenleştirilebiliyorsa P ve D matrisleri de yazılır.

Sınırlar

Boyut en çok 6×6 olabilir. Hücrelere yalnız sayı yazılır, harfli (simgesel) matrisler desteklenmez. Kesirli olmayan özdeğerlerin özvektörleri ondalık verilir. Genelleştirilmiş özvektörler ve Jordan biçimi bu aracın kapsamında değildir.