Calculateur de valeurs propres et de vecteurs propres

Définition des valeurs propres et des vecteurs propres

Si une matrice A étire ou contracte un vecteur v sans changer sa direction, v est un vecteur propre : A · v = λ · v. Le nombre λ est la valeur propre. Les valeurs propres interviennent dans les fréquences de vibration, la stabilité, les contraintes principales, l’état stationnaire d’une chaîne de Markov et l’analyse en composantes principales.

Méthode de calcul

On forme d’abord l’équation caractéristique det(A − λI) = 0. Ce polynôme a pour degré la taille de la matrice, et ses racines sont les valeurs propres. Pour une matrice 2×2 : λ² − tr(A) · λ + det(A) = 0. Pour chaque valeur propre, on résout ensuite (A − λI) · v = 0 par élimination de Gauss. Les solutions non nulles sont les vecteurs propres.

Exemple

Pour A = [3 0, 8 −1], la trace vaut 2 et le déterminant −3. L’équation est λ² − 2λ − 3 = 0, de racines λ = 3 et λ = −1. Pour λ = 3, A − 3I = [0 0, 8 −4], et 8x − 4y = 0 donne v = (1, 2). Vérification : A · (1, 2) = (3, 6) = 3 · (1, 2).

Valeurs propres multiples et complexes

Une valeur propre peut être une racine multiple du polynôme caractéristique. Le nombre de vecteurs propres indépendants peut alors être inférieur à sa multiplicité, et la matrice n’est pas diagonalisable. La matrice [1 1, 0 1] a pour unique valeur propre 1 et un seul vecteur propre indépendant, (1, 0). Une matrice réelle peut aussi avoir des valeurs propres complexes. La matrice de rotation de 90 degrés a pour valeurs propres i et −i, car la rotation ne conserve la direction d’aucun vecteur réel.

Résultats fournis

L’outil donne le polynôme caractéristique, les valeurs propres exactes si elles sont rationnelles, sinon sous forme radicale ou décimale, les multiplicités algébriques et géométriques, les vecteurs propres, le résidu relatif ‖A · v − λ · v‖∞ / (‖A‖∞ · ‖v‖∞) de chaque vecteur et les vérifications par la trace et le déterminant. Si toutes les valeurs propres sont rationnelles et la matrice diagonalisable, les matrices P et D sont aussi affichées.

Limites

La taille maximale est 6×6. Les cellules acceptent uniquement des nombres. Les matrices symboliques ne sont donc pas prises en charge. Les vecteurs propres associés à des valeurs propres non rationnelles sont donnés sous forme décimale. Les vecteurs propres généralisés et la forme de Jordan ne sont pas couverts.

Questions fréquentes

Comment calculer les valeurs propres d’une matrice deux par deux ?

Par exemple, la matrice de lignes [2, 1] et [1, 2] a pour valeurs propres 1 et 3. Annulez le déterminant caractéristique et résolvez l’équation du second degré obtenue. Ses racines sont réelles dans cet exemple symétrique, mais elles peuvent être multiples ou complexes pour d’autres matrices.