Calculadora de valores y vectores propios

¿Qué son los valores y vectores propios?

Si una matriz A solo alarga o acorta un vector v sin cambiar su dirección, v es un vector propio de esa matriz: A · v = λ · v. El número λ es el valor propio. Los valores propios determinan frecuencias de vibración, estabilidad, tensiones principales, el estado estacionario de una cadena de Markov y el análisis de componentes principales.

¿Cómo se obtienen?

Primero se plantea la ecuación característica det(A − λI) = 0. Es un polinomio cuyo grado coincide con el tamaño de la matriz y cuyas raíces son los valores propios. Para una matriz 2×2 es λ² − tr(A) · λ + det(A) = 0. Después, para cada valor propio, se resuelve (A − λI) · v = 0 mediante eliminación de Gauss. Las soluciones no nulas son los vectores propios.

Ejemplo

Para A = [3 0, 8 −1], la traza es 2 y el determinante es −3. La ecuación es λ² − 2λ − 3 = 0, con raíces λ = 3 y λ = −1. Para λ = 3, A − 3I = [0 0, 8 −4], y de 8x − 4y = 0 se obtiene v = (1, 2). Comprobación: A · (1, 2) = (3, 6) = 3 · (1, 2).

Valores propios repetidos y complejos

Un valor propio puede ser una raíz repetida del polinomio característico. En ese caso puede tener menos vectores propios independientes que su multiplicidad y la matriz no puede diagonalizarse: la matriz [1 1, 0 1] tiene el único valor propio 1 y un solo vector propio independiente, (1, 0). Una matriz real también puede tener valores propios complejos. La matriz de rotación de 90 grados tiene los valores propios i y −i, porque esa rotación no conserva la dirección de ningún vector real.

Qué ofrece la herramienta

El polinomio característico, los valores propios (exactos si son racionales y, en caso contrario, en forma radical o decimal), la multiplicidad algebraica y geométrica de cada uno, los vectores propios, el residuo relativo ‖A · v − λ · v‖∞ / (‖A‖∞ · ‖v‖∞) de cada vector propio y las comprobaciones de traza y determinante. Cuando todos los valores propios son racionales y la matriz es diagonalizable, también se muestran las matrices P y D.

Límites

El tamaño máximo es 6×6. Las celdas solo admiten números, por lo que no se admiten matrices simbólicas. Los vectores propios de valores propios no racionales se dan en decimales. Los vectores propios generalizados y la forma de Jordan quedan fuera del alcance de esta herramienta.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calculan los valores propios de una matriz de dos por dos?

Por ejemplo, la matriz de filas [2, 1] y [1, 2] tiene valores propios 1 y 3. Iguala a cero el determinante característico y resuelve la ecuación cuadrática resultante. Sus raíces son reales en este ejemplo simétrico, pero pueden ser repetidas o complejas en otras matrices.