Calculadora de autovalores e autovetores

O que são autovalores e autovetores?

Se uma matriz A apenas alonga ou encurta um vetor v sem mudar sua direção, v é um autovetor da matriz: A · v = λ · v. O número λ é o autovalor. Autovalores determinam frequências de vibração, estabilidade, tensões principais, o estado estacionário de uma cadeia de Markov e a análise de componentes principais.

Como são encontrados?

Primeiro, monte a equação característica det(A − λI) = 0. Ela é um polinômio de grau igual à dimensão da matriz, cujas raízes são os autovalores. Para uma matriz 2×2, temos λ² − tr(A) · λ + det(A) = 0. Depois, para cada autovalor, resolva (A − λI) · v = 0 por eliminação de Gauss. As soluções não nulas são os autovetores.

Exemplo

Para A = [3 0, 8 −1], o traço é 2 e o determinante é −3. A equação é λ² − 2λ − 3 = 0, com raízes λ = 3 e λ = −1. Para λ = 3, A − 3I = [0 0, 8 −4], e 8x − 4y = 0 fornece v = (1, 2). Verificação: A · (1, 2) = (3, 6) = 3 · (1, 2).

Autovalores repetidos e complexos

Um autovalor pode ser uma raiz repetida do polinômio característico. Nesse caso, pode ter menos autovetores independentes que sua multiplicidade e a matriz não pode ser diagonalizada. A matriz [1 1, 0 1] tem apenas o autovalor 1 e um único autovetor independente, (1, 0). Uma matriz real também pode ter autovalores complexos. A matriz de rotação de 90 graus tem autovalores i e −i, pois a rotação não preserva a direção de nenhum vetor real.

O que a ferramenta fornece

O polinômio característico, os autovalores, exatos quando racionais e em radicais ou decimais nos demais casos, suas multiplicidades algébricas e geométricas, os autovetores, o resíduo relativo ‖A · v − λ · v‖∞ / (‖A‖∞ · ‖v‖∞) de cada autovetor e as verificações de traço e determinante. Quando todos os autovalores são racionais e a matriz é diagonalizável, também mostra as matrizes P e D.

Limites

A dimensão máxima é 6×6. As células aceitam apenas números, sem matrizes simbólicas. Os autovetores de autovalores irracionais são dados em decimais. Autovetores generalizados e forma de Jordan estão fora do escopo.

Perguntas frequentes

Como calcular os autovalores de uma matriz dois por dois?

Por exemplo, a matriz com linhas [2, 1] e [1, 2] tem autovalores 1 e 3. Iguale o determinante característico a zero e resolva a equação quadrática resultante. As raízes são reais neste exemplo simétrico, mas podem ser repetidas ou complexas em outras matrizes.