Rahmen in 2D und Durchlaufträger berechnen

Was liefert eine Rahmenberechnung in 2D?

Ein Rahmen besteht aus biegesteif verbundenen Trägern und Stützen. Seine Stäbe übertragen neben Normalkräften auch Querkräfte und Biegemomente. Aus Knoten, Stäben, Auflagern und Lasten bestimmt dieser Rechner mit dem direkten Steifigkeitsverfahren die Stabendkräfte (N, V, M), Auflagerreaktionen sowie Knotenverschiebungen und Verdrehungen. Er zeichnet Momentenlinien, Querkraftlinien, Normalkraftlinien und eine maßstäblich dargestellte Biegelinie. Auch Durchlaufträger lassen sich damit berechnen.

Verfahren

Jeder Knoten hat drei Freiheitsgrade: zwei Verschiebungen und eine Verdrehung. Die Stabsteifigkeitsmatrix mit 6 × 6 Einträgen enthält den Längssteifigkeitsterm E × A / L sowie die Biegesteifigkeitsterme 12 × E × I / L³, 6 × E × I / L², 4 × E × I / L und 2 × E × I / L. Sie wird um den Stabwinkel in die globalen Achsen gedreht und zur Systemmatrix zusammengesetzt. Stablasten werden durch Einspannkräfte auf die Knoten übertragen. Das Einspannmoment beträgt w × L² / 12 bei Gleichlast und P × L / 8 bei einer mittigen Einzellast. Anschließend wird K × u = F gelöst. Momente und Querkräfte entlang des Stabes ergeben sich aus den Stabendkräften und den Stablasten.

Vorzeichen

Eine Stablast ist positiv, wenn sie beim Blick vom ersten zum zweiten Knoten nach rechts wirkt. Bei einem von links nach rechts definierten Träger wirkt sie somit nach unten, bei einer von unten nach oben definierten Stütze nach rechts. Für Knotenlasten zeigt x nach rechts und y nach oben. Momente sind gegen den Uhrzeigersinn positiv. Normalkräfte sind bei Zug positiv. Die Momentenlinie wird auf der Zugseite dargestellt.

Beispiel

Ein Durchlaufträger mit zwei gleichen Feldern von 4 m trägt 10 kN/m. Das Moment über dem Mittelauflager beträgt w × L² / 8 = 20 kN·m. Die äußeren Auflagerreaktionen betragen jeweils 3 × w × L / 8 = 15 kN, die mittlere Reaktion 10 × w × L / 8 = 50 kN. Das größte Feldmoment beträgt 9 × w × L² / 128 = 11,25 kN·m und liegt 1,5 m vom Endauflager entfernt. Das eingebaute Beispiel ergibt diese Werte.

Grenzen

Die Berechnung ist linear elastisch und erfolgt nach Theorie erster Ordnung. Schubverformungen, Effekte zweiter Ordnung, Knicken, Gelenke an Stabenden, nachgiebige Anschlüsse, geneigte Auflager und Auflagersetzungen werden nicht berücksichtigt. Stablasten wirken ausschließlich senkrecht zur Stabachse. Das Eigengewicht ist gesondert als Last einzugeben. Querschnittswahl und Tragfähigkeitsnachweise erfolgen nach der maßgebenden Norm.