Üçgen Hesaplama: Kenar, Açı, Alan

Üçgen nasıl çözülür?

Bir üçgenin üç kenarı ve üç açısı vardır. Bunlardan üçü biliniyorsa (en az biri kenar olmak koşuluyla) kalan üçü hesaplanır. Hangi teoremin kullanılacağı bilinenlere bağlıdır.

• Üç kenar: açılar kosinüs teoremiyle bulunur.
• İki kenar ve aralarındaki açı: üçüncü kenar kosinüs teoremiyle bulunur.
• İki açı ve bir kenar: üçüncü açı 180 dereceden çıkarılır, kenarlar sinüs teoremiyle bulunur.
• İki kenar ve birinin karşısındaki açı: sinüs teoremi kullanılır, iki farklı üçgen çıkabilir.

Formüller

Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2 × b × c × cos A. Sinüs teoremi: a / sin A = b / sin B = c / sin C. Alan: b × c × sin A / 2. Üç kenar biliniyorsa alan Heron formülüyle de bulunur.

Örnek

Kenarları 3, 4 ve 5 olan üçgende cos C = (9 + 16 − 25) / 24 = 0 çıkar, yani C = 90 derecedir. Öteki açılar 36.87 ve 53.13 derece, alan 6 olur.

İki çözümlü durum

a = 6, b = 10 ve A = 30 derece verildiğinde sin B = 10 × 0.5 / 6 = 0.833 olur. Bu sinüsü hem 56.44 hem 123.56 derece verir, ikisi de geçerli bir üçgen oluşturur: üçüncü kenar birinde 11.98, ötekinde 5.34 çıkar. Araç iki üçgeni de çizer. a kenarı b × sin A değerinden kısaysa üçgen oluşmaz, b kenarından uzunsa tek üçgen vardır.

Sınırlar

Herhangi iki kenarın toplamı üçüncüden büyük olmalı, iki açının toplamı 180 dereceden küçük kalmalıdır. Araç düzlem üçgenler içindir: küresel üçgenler ve yeryüzündeki uzun mesafeler kapsam dışındadır.