Équation différentielle du premier ordre : solution numérique

Résolution avec une condition initiale

Saisissez une équation y′=f(x,y) et une condition initiale y(x₀)=y₀. L’outil intègre jusqu’au point visé par une méthode d’ordre quatre. Chaque pas évalue la pente au départ, deux fois au milieu et une fois à la fin.

Exemple

Pour y′=2x et y(0)=1, l’intégration directe donne y=x²+1. En x=2, le résultat est 5. Les solutions analytiques connues permettent de vérifier un calcul numérique.

Choix du nombre de pas

Le calcul utilise le nombre de pas saisi, puis le double. Le résultat principal provient du maillage le plus fin. L’écart affiché ne constitue pas une borne rigoureuse de l’erreur. Les équations raides et les singularités nécessitent d’autres méthodes. Les systèmes et les problèmes aux limites dépassent le cadre de cet outil.

Équation et pas d’intégration

Saisissez seulement le membre de droite. Pour y′=x, écrivez x. La condition initiale est la valeur de y au départ, pas sa pente. Une cible antérieure au départ donne un pas négatif et indique une intégration en sens inverse. Gardez des unités cohérentes dans le modèle.

Résolvons par exemple y′=x avec y(0)=2 jusqu’à x=2. L’intégration donne y=x²/2+2, donc la valeur cible est 4. Avec 2 pas grossiers, le pas vaut 1. Au premier pas, les pentes valent 0, 0,5, 0,5 et 1. L’incrément pondéré est (0+2×0,5+2×0,5+1)/6 = 0,5, d’où y=2,5. Le second pas aboutit à 4. Le résultat principal utilise 4 pas de taille 0,5.

L’accord des deux maillages dans cet exemple ne garantit pas le même comportement pour toute équation. Augmentez le nombre de pas et comparez encore. Un pas plus petit ne supprime pas l’incertitude des conditions initiales ou des coefficients. Examinez séparément les changements brusques et les points non définis. Une sortie finie ne démontre pas l’existence d’une solution sur tout l’intervalle.