Birinci Mertebe Diferansiyel Denklem: Sayısal Çözüm

Başlangıç değerinden çözüm

y′=f(x,y) biçimindeki bir denkleme y(x₀)=y₀ başlangıç koşulu verilir. Araç seçilen hedef noktaya kadar dördüncü mertebe sayısal yöntem uygular. Her adımda başlangıç, iki orta nokta ve bitiş eğimleri kullanılır.

Örnek

y′=2x ve y(0)=1 için doğrudan integral y=x²+1 verir. x=2 noktasındaki sonuç 5 olur. Sayısal çözümü bu tür bilinen sonuçlarla kontrol etmek yararlıdır.

Adım seçimi

Girilen adım sayısıyla ve bunun iki katıyla iki çözüm yapılır. Ana sonuç daha küçük adım kullanan çözümdür. İki sonuç arasındaki fark gösterilir ancak bu fark kesin hata sınırı değildir. Sert denklemler ve aralıktaki tekillikler için başka yöntem gerekir. Araç bir denklem sistemi ya da sınır değer problemi çözmez.

Denklem ve adım büyüklüğü

Girdi alanına denklemin yalnız sağ tarafını yazın. Örneğin y′=x için girilecek ifade x olur. Başlangıç koşulu eğim değil, başlangıç noktasındaki y değeridir. Hedef nokta başlangıcın gerisindeyse adım büyüklüğü negatif olur. Bu durum geriye doğru çözüm isteğini belirtir. Modelde kullanılan değişkenlerin birimlerini kendi denkleminizde tutarlı kurmanız gerekir.

Örneğin y′=x ve y(0)=2 için hedef x=2 olsun. Elle integral y=x²/2+2 verir, dolayısıyla hedef değer 4 olur. İlk çözümün adım sayısı 2 seçildiğinde adım büyüklüğü 1 olur. İlk adımda eğimler 0, 0,5, 0,5 ve 1 değerleridir. Ağırlıklı artış (0+2×0,5+2×0,5+1)/6 = 0,5 olur ve y değeri 2,5 çıkar. İkinci adım sonunda 4 bulunur. Ana sonuç ise 4 adım ve 0,5 adım büyüklüğü kullanır.

Bu örnekte iki ağın aynı sonucu vermesi, her denklemde aynı başarı beklenebileceği anlamına gelmez. Adım sayısını artırarak sonucu yeniden karşılaştırın. Başlangıç değeri veya sağ taraftaki katsayılar belirsizse daha küçük sayısal adım bu veri belirsizliğini gidermez. Aralık içindeki ani değişimleri ve tanımsız noktaları ayrıca inceleyin. Sonlu bir çıktı alınması, bütün aralıkta çözümün varlığına ilişkin ispat değildir.