Equação diferencial de primeira ordem: solução numérica

Solução a partir de um valor inicial

Forneça uma equação y′=f(x,y) e uma condição inicial y(x₀)=y₀. A ferramenta integra até o ponto de destino usando um método de quarta ordem. Cada passo amostra a inclinação no início, duas vezes no ponto médio e uma vez no final.

Exemplo

Para y′=2x com y(0)=1, a integração direta fornece y=x²+1. O resultado em x=2 é 5. Soluções analíticas conhecidas permitem conferir um cálculo numérico.

Escolha da quantidade de passos

O cálculo é executado com a quantidade de passos inserida e novamente com o dobro dessa quantidade. O resultado principal usa a malha fina. A diferença é exibida, mas não constitui um limite rigoroso do erro. Equações rígidas e singularidades exigem outros métodos. Sistemas e problemas de valor de contorno estão fora do escopo desta ferramenta.

Equação e tamanho do passo

Insira apenas o lado direito. Para y′=x, escreva x. A condição inicial é o valor de y no ponto inicial, não sua inclinação. Um destino anterior ao início gera passo negativo e indica integração para trás. Mantenha as unidades coerentes no modelo.

Por exemplo, resolva y′=x com y(0)=2 até x=2. A integral fornece y=x²/2+2, portanto o valor final é 4. Escolher 2 passos iniciais fornece tamanho de passo 1. No primeiro passo, as inclinações são 0, 0,5, 0,5 e 1. O incremento ponderado é (0+2×0,5+2×0,5+1)/6 = 0,5 e resulta y=2,5. O segundo passo termina em 4. O resultado principal usa 4 passos de tamanho 0,5.

A concordância das duas malhas neste exemplo não garante o mesmo comportamento para qualquer equação. Aumente os passos e compare novamente. Um passo menor não elimina a incerteza das condições iniciais ou dos coeficientes. Examine separadamente mudanças bruscas e pontos indefinidos no intervalo. Uma saída finita não demonstra a existência da solução em todo o intervalo.