Calculadora de ecuaciones diferenciales de primer orden: solución numérica

Resolución a partir de un valor inicial

Introduce una ecuación y′=f(x,y) y una condición inicial y(x₀)=y₀. La herramienta integra hasta el punto final mediante un método de cuarto orden. Cada paso evalúa la pendiente al inicio, dos veces en el punto medio y una vez al final.

Ejemplo

Para y′=2x con y(0)=1, la integración directa da y=x²+1. El resultado en x=2 es 5. Las soluciones analíticas conocidas sirven para comprobar un cálculo numérico.

Elección del número de pasos

El cálculo se realiza con el número de pasos introducido y se repite con el doble. El resultado principal utiliza la malla más fina. Se muestra la diferencia entre ambos, que no es una cota rigurosa del error. Las ecuaciones rígidas y las singularidades requieren otros métodos. Los sistemas y los problemas de contorno quedan fuera del alcance de esta herramienta.

Ecuación y tamaño de paso

Introduce solo el lado derecho. Para y′=x, escribe x. La condición inicial es el valor de y en el punto inicial, no su pendiente. Un destino anterior al inicio produce un paso negativo e indica integración hacia atrás. Mantén coherentes las unidades del modelo.

Por ejemplo, resuelve y′=x con y(0)=2 hasta x=2. La integral da y=x²/2+2, por lo que el valor final es 4. Elegir 2 pasos iniciales da tamaño de paso 1. En el primer paso las pendientes son 0, 0,5, 0,5 y 1. El incremento ponderado es (0+2×0,5+2×0,5+1)/6 = 0,5 y resulta y=2,5. El segundo paso termina en 4. El resultado principal usa 4 pasos de tamaño 0,5.

La coincidencia de ambas mallas en este ejemplo no garantiza igual comportamiento en cualquier ecuación. Aumenta los pasos y vuelve a comparar. Un paso menor no elimina la incertidumbre de las condiciones iniciales ni de los coeficientes. Examina aparte los cambios bruscos y los puntos indefinidos del intervalo. Una salida finita no demuestra que exista solución en todo el intervalo.