Calculateur de valeurs absolues et de fonctions définies par morceaux

L’ensemble couvert par les conditions n’exclut pas les singularités des expressions. Le contrôle de continuité compare les valeurs obtenues par substitution aux bornes dans les expressions voisines. Les limites aux singularités ne sont pas calculées.

Que fait cet outil ?

Il comporte trois onglets. L’onglet Équation et inéquation résout une équation ou une inéquation contenant des valeurs absolues et représente l’ensemble des solutions sur une droite graduée. L’onglet Valeur évalue une expression avec valeurs absolues pour un x donné, en détaillant les étapes, et la réécrit comme une fonction définie par morceaux. Le dernier onglet évalue en un point une fonction comportant jusqu’à quatre morceaux.

Définition de la valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro sur la droite graduée. Elle n’est donc jamais négative : |5| = 5 et |−5| = 5. Si l’expression intérieure est positive ou nulle, elle reste inchangée. Si elle est négative, son signe change. Saisissez les barres avec la touche | ou écrivez abs(x).

Règles pour les équations et inéquations

Soit k un nombre strictement positif.

|u| = k signifie u = k ou u = −k

|u| < k signifie −k < u < k

|u| > k signifie u < −k ou u > k

Si k est négatif, |u| = k et |u| < k n’ont pas de solution, tandis que |u| > k est vrai pour tout nombre.

Exemple

Saisissez |2x - 3| = 5. L’expression intérieure peut valoir 5 ou −5. De 2x − 3 = 5, on tire x = 4, et de 2x − 3 = −5, on tire x = −1. L’ensemble des solutions est {−1, 4}. Pour une inéquation, |x + 1| < 4 signifie −4 < x + 1 < 4. En soustrayant 1 aux trois membres, on obtient −5 < x < 3.

Plusieurs valeurs absolues

Pour une expression telle que |x - 1| + |x + 2| = 5, l’outil recherche les points critiques où l’intérieur d’une valeur absolue s’annule, ici −2 et 1. Ces points divisent la droite graduée en intervalles. Sur chaque intervalle, le signe de chaque expression intérieure est connu. On obtient donc une équation linéaire à résoudre. Une solution n’est retenue que si elle appartient à l’intervalle considéré. Les équations comportant x à droite, telles que |x - 1| = 2x + 3, sont traitées de la même façon.

Fonctions définies par morceaux

Pour chaque morceau, saisissez une expression et une condition telle que x < 0, 0 <= x < 2 ou x >= 2. Le dernier morceau peut avoir la condition « sinon ». L’outil indique quelle condition votre x vérifie et évalue le morceau correspondant. Il fournit aussi l’ensemble couvert par les conditions et les valeurs à gauche et à droite aux jonctions. La continuité exige que les deux valeurs latérales et la valeur définie au point coïncident. Des valeurs latérales différentes indiquent une discontinuité par saut. Des valeurs latérales égales avec une valeur au point absente ou différente indiquent une discontinuité éliminable.

Limites

L’onglet Équation et inéquation accepte uniquement les valeurs absolues d’expressions linéaires. Les équations telles que |x² − 1| = 3 et les valeurs absolues imbriquées ne sont pas prises en charge. Les coefficients doivent être des entiers, des fractions ou des nombres décimaux. Les conditions d’une fonction définie par morceaux utilisent une seule variable et des bornes numériques. Le contrôle de continuité aux extrémités compare les valeurs des morceaux voisins au point considéré.