Rechner für arithmetische und geometrische Folgen

Arithmetische Folgen

Bei einer arithmetischen Folge entsteht jedes Glied durch Addition derselben Zahl zum vorigen Glied. Diese Differenz d beträgt in 3, 7, 11, 15 beispielsweise 4.

Glied n: aₙ = a₁ + (n − 1) · d

Summe der ersten n Glieder: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

Beispiel: Für a₁ = 3 und d = 4 ist das zehnte Glied 3 + 9 · 4 = 39. Die ersten zehn Glieder ergeben 10 · (3 + 39) / 2 = 210. Die Summe von 1 bis 100 ergibt entsprechend 100 · 101 / 2 = 5050.

Geometrische Folgen

Hier entsteht jedes Glied durch Multiplikation des vorigen mit demselben Quotienten r. In 2, 6, 18, 54 beträgt er 3.

Glied n: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹

Summe der ersten n Glieder: Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r)

Unendliche Summe für |r| < 1: S∞ = a₁ / (1 − r)

Bei 1, 1/2, 1/4 und so weiter ist die Summe der ersten zehn Glieder 1023/512. Die unendliche Summe ist 1 / (1 − 1/2) = 2. Ist der Betrag des Quotienten nicht kleiner als 1, werden die Glieder nicht kleiner und es gibt keine unendliche Summe.

Folge aus zwei Gliedern

Aus zwei bekannten Gliedern und ihren Positionen folgen Differenz oder Quotient und das erste Glied. Für eine arithmetische Folge mit a₃ = 7 und a₇ = 19 gilt d = (19 − 7) / 4 = 3 und a₁ = 1. Bei einer geometrischen Folge mit geradem Positionsabstand sind zwei Quotienten möglich: a₁ = 2 und a₃ = 18 ergeben r = 3 oder r = −3.

Position eines Werts

In der Folge 3, 7, 11 ist 79 das 20. Glied. Der Wert 20 kommt nicht vor. Das Werkzeug meldet dies und zeigt benachbarte Glieder.

Grenzen

Nur arithmetische und geometrische Folgen sind enthalten. Rekursive Folgen wie Fibonacci, Folgen mit polynomialem allgemeinem Glied ab Grad zwei und die harmonische Reihe sind nicht abgedeckt. Die Nummerierung beginnt bei 1.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Summe einer arithmetischen Folge?

Eine arithmetische Folge mit Anfangsglied 5 und Differenz 3 hat beispielsweise für die ersten 8 Glieder die Summe 124. Das letzte Glied ist 26. Multiplizieren Sie den Mittelwert aus erstem und letztem Glied mit der Gliederanzahl. Positionen beginnen bei eins. Die Formel gilt nicht für wechselnde Differenzen oder unendliche Reihen.

Mit diesen Werten berechnen