Aritmetik ve Geometrik Dizi Hesaplama

Aritmetik dizi

Aritmetik dizide her terim bir öncekine aynı sayı eklenerek bulunur. Bu sayıya ortak fark (d) denir: 3, 7, 11, 15 dizisinde d = 4 olur.

• n. terim: aₙ = a₁ + (n − 1) · d
• İlk n terimin toplamı: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

Örnek: a₁ = 3 ve d = 4 için onuncu terim 3 + 9 · 4 = 39, ilk on terimin toplamı 10 · (3 + 39) / 2 = 210 eder. 1'den 100'e kadar sayıların toplamı da aynı formülle 100 · 101 / 2 = 5050 çıkar.

Geometrik dizi

Geometrik dizide her terim bir öncekinin aynı sayıyla çarpılmasıyla bulunur. Bu sayıya ortak oran (r) denir: 2, 6, 18, 54 dizisinde r = 3 olur.

• n. terim: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹
• İlk n terimin toplamı: Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r)
• Sonsuz toplam: |r| < 1 ise S∞ = a₁ / (1 − r)

Örnek: 1, 1/2, 1/4 diye giden dizide ilk on terimin toplamı 1023/512, sonsuz toplam ise 1 / (1 − 1/2) = 2 olur. Oran 1'den küçük olmadığında terimler küçülmez ve sonsuz toplam yoktur.

İki terimden diziyi bulma

Dizinin herhangi iki terimini ve sıralarını biliyorsanız araç ortak farkı ya da oranı ve ilk terimi bulur. Aritmetik dizide a₃ = 7 ve a₇ = 19 için d = (19 − 7) / 4 = 3 ve a₁ = 1 çıkar. Geometrik dizide sıra farkı çiftse iki oran da olur: a₁ = 2 ve a₃ = 18 için r = 3 ya da r = −3.

Terimin sırası

Bir değerin dizinin kaçıncı terimi olduğunu da sorabilirsiniz. 3, 7, 11 dizisinde 79 değeri 20. terimdir. 20 değeri ise dizide yoktur, araç bunu söyler ve en yakın terimleri verir.

Sınırlar

Araç yalnız aritmetik ve geometrik dizileri çözer. Fibonacci gibi indirgemeli diziler, genel terimi polinom olan diziler ve harmonik seri kapsam dışındadır. Terimler 1'den başlayarak numaralanır.