Calculadora de progressão aritmética e geométrica

Progressões aritméticas

Em uma progressão aritmética, cada termo resulta da soma do termo anterior com um mesmo número. Esse número é a razão (d): em 3, 7, 11, 15, ela é 4.

Termo geral: aₙ = a₁ + (n − 1) · d Soma dos primeiros n termos: Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

Exemplo: com a₁ = 3 e d = 4, o décimo termo é 3 + 9 · 4 = 39, e os dez primeiros somam 10 · (3 + 39) / 2 = 210. A mesma fórmula dá a soma dos números de 1 a 100 como 100 · 101 / 2 = 5050.

Progressões geométricas

Em uma progressão geométrica, cada termo resulta da multiplicação do anterior por um mesmo número. Esse número é a razão (r): em 2, 6, 18, 54, ela é 3.

Termo geral: aₙ = a₁ · rⁿ⁻¹ Soma dos primeiros n termos: Sₙ = a₁ · (1 − rⁿ) / (1 − r) Soma infinita: se |r| < 1, então S∞ = a₁ / (1 − r)

Exemplo: para 1, 1/2, 1/4 e assim por diante, os dez primeiros termos somam 1023/512, e a soma infinita é 1 / (1 − 1/2) = 2. Quando o módulo da razão não é menor que 1, os termos não diminuem e não existe soma infinita.

Determinar uma progressão por dois termos

Se você conhece dois termos e suas posições, a calculadora encontra a razão e o primeiro termo. Para uma PA com a₃ = 7 e a₇ = 19, resulta d = (19 − 7) / 4 = 3 e a₁ = 1. Para uma PG, uma diferença par entre posições permite duas razões: a₁ = 2 e a₃ = 18 dão r = 3 ou r = −3.

Posição de um termo

Você também pode descobrir qual posição um valor ocupa. Em 3, 7, 11, o valor 79 é o 20º termo. O valor 20 não pertence à progressão. A calculadora informa isso e apresenta os termos mais próximos.

Limites

A calculadora aceita apenas progressões aritméticas e geométricas. Sequências recursivas, como Fibonacci, sequências com termo geral polinomial de grau dois ou maior e a série harmônica não são contempladas. Os termos começam na posição 1.

Perguntas frequentes

Como calcular a soma de uma progressão aritmética?

Por exemplo, uma progressão aritmética com primeiro termo 5 e razão 3 tem soma 124 nos primeiros 8 termos, terminando em 26. A soma é a média do primeiro e do último termo multiplicada pela quantidade de termos. As posições começam em um. Esta fórmula não se aplica a diferenças variáveis nem a séries infinitas.

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