3 Boyutlu Uzaklık ve Vektör Hesaplama

Uzayda iki nokta arası uzaklık

Üç boyutlu uzayda iki nokta arasındaki uzaklık, koordinat farklarının karelerinin toplamının kareköküdür: d = √(Δx² + Δy² + Δz²). Bu, Pisagor teoreminin iki kez uygulanmasıdır.

Örnek: A(1, 2, 3) ve B(4, 6, 15) için farklar 3, 4 ve 12 olur. Uzaklık √(9 + 16 + 144) = √169 = 13 birimdir.

İki noktadan vektör

A noktasından B noktasına giden vektörün bileşenleri koordinat farklarıdır: AB = (x₂ − x₁, y₂ − y₁, z₂ − z₁). Vektörün büyüklüğü iki nokta arasındaki uzaklığa eşittir.

Birim vektör

Birim vektör, aynı yönü gösteren ve boyu 1 olan vektördür. Her bileşen büyüklüğe bölünerek bulunur: u = v / |v|. Örnekteki vektör için birim vektör (3/13, 4/13, 12/13) = (0.2308, 0.3077, 0.9231) olur.

Yön kosinüsleri ve yön açıları

Birim vektörün bileşenleri aynı zamanda vektörün x, y ve z eksenleriyle yaptığı açıların kosinüsleridir. Örnekte açılar 76.66, 72.08 ve 22.62 derecedir. Yön kosinüslerinin kareleri toplamı her zaman 1 eder: bu, hesabı denetlemenin kolay yoludur.

Nerede kullanılır?

Uzay kafes sistemlerde ve gergi halatlarında çubuk boyu ve kuvvetin bileşenlere ayrılması, boru ve kablo güzergâhında iki nokta arası gerçek boy, üç boyutlu modelde iki düğüm arası mesafe, bir doğrultunun yatayla yaptığı açı bu hesaplarla bulunur. Statikte bir kuvvet, büyüklüğü ile birim vektörünün çarpımı olarak yazılır.

Sınırlar

Bütün koordinatlar aynı birimde ve aynı eksen takımında olmalıdır. Çakışan iki noktanın tanımladığı sıfır vektörün yönü yoktur. Skaler ve vektörel çarpım bu aracın konusu değildir.