Calculadora de matrices de transformación 2D

La herramienta gira puntos. Para girar los ejes de coordenadas un ángulo θ, introduce −θ o usa la matriz inversa.

¿Qué es una transformación de coordenadas?

Consiste en mover, girar, cambiar el tamaño o reflejar una figura modificando las coordenadas de sus vértices. Cada transformación obtiene coordenadas nuevas a partir de las anteriores. Varias transformaciones sucesivas pueden combinarse en una sola matriz.

Traslación y rotación

La traslación suma la misma cantidad a cada punto: x′ = x + Δx, y′ = y + Δy.

Una rotación de θ respecto al origen da x′ = x·cos θ − y·sin θ e y′ = x·sin θ + y·cos θ. El ángulo positivo gira en sentido antihorario. Un giro de 90 grados lleva (x, y) a (−y, x).

Para girar respecto a otro centro, expresa el punto respecto a él, gíralo y vuelve a sumar el centro.

Ejemplo

Gira el punto (4, 2) un ángulo de 30 grados respecto al origen y después trasládalo (10, 5). Tras girar, x = 4 × 0,866 − 2 × 0,5 = 2,464 e y = 4 × 0,5 + 2 × 0,866 = 3,732. La traslación da el punto (12,464, 8,732).

La matriz de transformación

Una traslación por sí sola no se puede expresar con una matriz 2×2. Se añade una tercera componente (1) al punto y se utiliza una matriz 3×3. El bloque superior izquierdo 2×2 contiene la rotación, el escalado y la reflexión. La última columna contiene la traslación. Al encadenar transformaciones, sus matrices se multiplican con la primera operación en el extremo derecho del producto.

¿Por qué importa el orden?

Girar y después trasladar difiere de trasladar y después girar. El punto (1, 0), girado 90 grados y desplazado después (1, 0), termina en (1, 1). Si primero se desplaza y después se gira, termina en (0, 2).

Aplicaciones

Este cálculo permite adaptar coordenadas de diseño a una cuadrícula local de obra, girar las coordenadas de los agujeros de una pieza, reflejar media pieza simétrica, desplazar el origen de trabajo de una máquina herramienta y transformar figuras en gráficos por computadora.

Límites

La calculadora trabaja en el plano y no convierte unidades. No abarca conversiones de dátum ni de proyección cartográfica.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se gira un punto 180 grados en sentido antihorario?

Girar el punto de ejemplo (2, 3) un ángulo de 180° en sentido antihorario respecto al origen da las coordenadas (-2, -3). Media vuelta solo cambia el signo de cada coordenada. La matriz gira el punto, con unidades de longitud coherentes. No gira los ejes ni realiza transformaciones de dátum o proyección cartográfica.