Matriz de transformação 2D: rotação e translação de coordenadas

A ferramenta gira pontos. Para girar os eixos de coordenadas por θ, insira −θ ou use a matriz de transformação inversa.

O que é uma transformação de coordenadas?

Mover, girar, redimensionar ou espelhar uma forma alterando as coordenadas dos vértices é uma transformação de coordenadas. Cada operação usa uma regra simples para obter novas coordenadas a partir das anteriores. Várias transformações consecutivas podem ser combinadas em uma única matriz.

Translação e rotação

Uma translação soma o mesmo deslocamento a todos os pontos: x′ = x + Δx, y′ = y + Δy.

Uma rotação de θ em torno da origem produz x′ = x·cos θ − y·sin θ e y′ = x·sin θ + y·cos θ. Um ângulo positivo segue o sentido anti-horário. Uma rotação de 90 graus transforma (x, y) em (−y, x).

Para girar em torno de outro centro, expresse o ponto em relação a esse centro, aplique a rotação e some o centro novamente.

Exemplo

Gire o ponto (4, 2) em 30 graus em torno da origem e depois aplique uma translação de (10, 5). Após a rotação, x = 4 × 0,866 − 2 × 0,5 = 2,464 e y = 4 × 0,5 + 2 × 0,866 = 3,732. A translação produz o novo ponto (12,464, 8,732).

Matriz de transformação

Uma translação não pode ser representada apenas por uma matriz 2×2. Por isso, acrescenta-se ao ponto uma terceira componente (1) e usa-se uma matriz 3×3. O bloco 2×2 superior esquerdo representa rotação, escala e reflexão, e a última coluna representa a translação. As matrizes de transformações encadeadas são multiplicadas, com a primeira etapa à extrema direita do produto.

Por que a ordem importa?

Girar e depois transladar difere de transladar e depois girar. O ponto (1, 0), girado em 90 graus e depois deslocado por (1, 0), termina em (1, 1). Se for deslocado primeiro e girado depois, termina em (0, 2).

Onde se aplica?

O cálculo é usado para converter coordenadas de projeto em uma malha local na obra, reposicionar coordenadas de furos de uma peça girada, obter a outra metade de uma peça simétrica por reflexão, deslocar a origem de trabalho de uma máquina ferramenta e transformar formas na computação gráfica.

Limites

A calculadora trabalha no plano e não converte unidades. Conversões de referenciais geodésicos e projeções cartográficas estão fora do escopo.

Perguntas frequentes

Como girar um ponto 180 graus no sentido anti-horário?

Girar o ponto de exemplo (2, 3) em 180° no sentido anti-horário em torno da origem produz as coordenadas (-2, -3). Uma meia volta apenas muda o sinal de cada coordenada. A matriz de rotação atua no ponto, e não nos eixos. As unidades de comprimento devem ser consistentes. Transformações de referenciais geodésicos ou projeções cartográficas estão fora do escopo desta operação.