Koordinat Döndürme, Taşıma ve 2B Dönüşüm Matrisi

Koordinat dönüşümü nedir?

Bir şeklin köşe koordinatlarını taşımak, döndürmek, büyütmek ya da ayna görüntüsünü almak koordinat dönüşümüdür. Her dönüşüm, eski koordinatlardan yenilerini veren basit bir bağıntıdır. Birkaç dönüşüm art arda uygulanınca hepsi tek bir matriste toplanabilir.

Taşıma ve döndürme

Taşımada her noktaya aynı miktar eklenir: x′ = x + Δx, y′ = y + Δy.

Orijin etrafında θ kadar döndürmede x′ = x·cos θ − y·sin θ ve y′ = x·sin θ + y·cos θ olur. Artı açı saat yönünün tersinedir. 90 derecelik dönüşte (x, y) noktası (−y, x) noktasına gider.

Başka bir merkez etrafında döndürmek için nokta önce merkeze göre yazılır, döndürülür, sonra merkez geri eklenir.

Örnek

(4, 2) noktası orijin etrafında 30 derece döndürülüp (10, 5) kadar taşınsın. Döndürmeden sonra x = 4 × 0.866 − 2 × 0.5 = 2.464, y = 4 × 0.5 + 2 × 0.866 = 3.732 olur. Taşımayla yeni nokta (12.464, 8.732) çıkar.

Dönüşüm matrisi

Taşıma tek başına 2×2 matrisle yazılamaz. Bu yüzden noktaya üçüncü bir bileşen (1) eklenir ve 3×3 matris kullanılır. Matrisin sol üstteki 2×2 bölümü döndürme, ölçekleme ve yansıtmayı, son sütunu taşımayı taşır. Art arda dönüşümlerde matrisler çarpılır: ilk uygulanan dönüşüm çarpımın en sağında durur.

Sıra neden önemli?

Önce döndürüp sonra taşımak ile önce taşıyıp sonra döndürmek farklı sonuç verir. (1, 0) noktası 90 derece döndürülüp (1, 0) taşınırsa (1, 1) noktasına, önce taşınıp sonra döndürülürse (0, 2) noktasına gider.

Nerede kullanılır?

Proje koordinatlarını şantiyedeki yerel aks sistemine çevirmek, bir parçanın delik koordinatlarını döndürülmüş konuma taşımak, simetrik parçanın öteki yarısını yansıtmayla üretmek, tezgâhta iş parçası sıfırını kaydırmak ve bilgisayar grafiğinde şekil dönüşümleri bu hesapla yapılır.

Sınırlar

Araç düzlemde çalışır ve birim çevirmez. Harita datumu ve projeksiyon dönüşümleri kapsam dışındadır.