Matrice de transformation 2D : rotation et translation des coordonnées

L’outil fait tourner les points. Pour faire tourner les axes de coordonnées d’un angle θ, saisissez −θ ou utilisez la matrice de transformation inverse.

Définition d’une transformation de coordonnées

Déplacer, faire tourner, redimensionner une figure ou en prendre le symétrique en modifiant les coordonnées de ses sommets constitue une transformation de coordonnées. Chaque opération fournit une règle simple pour passer des anciennes coordonnées aux nouvelles. Plusieurs transformations successives peuvent être réunies en une seule matrice.

Translation et rotation

Une translation ajoute la même quantité à chaque point : x′ = x + Δx, y′ = y + Δy.

Une rotation d’angle θ autour de l’origine donne x′ = x·cos θ − y·sin θ et y′ = x·sin θ + y·cos θ. Un angle positif correspond au sens trigonométrique. Une rotation de 90 degrés transforme (x, y) en (−y, x).

Pour tourner autour d’un autre centre, exprimez le point par rapport à ce centre, appliquez la rotation puis ajoutez de nouveau les coordonnées du centre.

Exemple

Faites tourner le point (4, 2) de 30 degrés autour de l’origine, puis appliquez une translation de (10, 5). Après rotation, x = 4 × 0,866 − 2 × 0,5 = 2,464 et y = 4 × 0,5 + 2 × 0,866 = 3,732. La translation donne le nouveau point de coordonnées x = 12,464 et y = 8,732.

Matrice de transformation

Une translation ne peut pas être exprimée seule par une matrice 2×2. On ajoute donc une troisième composante (1) au point et on utilise une matrice 3×3. Son bloc 2×2 en haut à gauche contient rotation, changement d’échelle et symétrie. La dernière colonne contient la translation. Pour enchaîner les transformations, on multiplie leurs matrices en plaçant la première étape tout à droite du produit.

Pourquoi l’ordre compte ?

Une rotation suivie d’une translation ne donne pas le même résultat que l’ordre inverse. Le point (1, 0), tourné de 90 degrés puis déplacé de (1, 0), arrive en (1, 1). Déplacé d’abord puis tourné, il arrive en (0, 2).

Applications

Ce calcul sert à convertir les coordonnées d’un plan vers une grille locale de chantier, repositionner les perçages d’une pièce après rotation, créer l’autre moitié d’une pièce symétrique, déplacer l’origine de travail d’une machine d’usinage ou transformer des figures en infographie.

Limites

Le calculateur travaille dans le plan et ne convertit pas les unités. Les changements de référentiel géodésique et de projection sont hors de son domaine.

Questions fréquentes

Comment faire tourner un point de 180 degrés dans le sens trigonométrique ?

Une rotation de 180° du point d’exemple (2, 3) autour de l’origine dans le sens trigonométrique donne les coordonnées (-2, -3). Une rotation de la moitié d’un tour change uniquement le signe de chaque coordonnée. La matrice de rotation agit sur le point et non sur les axes. Les unités de longueur doivent être cohérentes. Les changements de référentiel géodésique et de projection ne sont pas couverts.