Calculateur de combinaisons, d’arrangements et de factorielles

Arrangement ou combinaison ?

Les deux répondent à la question « de combien de façons ». La différence est la prise en compte de l’ordre. Utilisez un arrangement lorsque l’ordre compte et une combinaison dans le cas contraire. Choisir un président, un adjoint et un trésorier parmi 10 personnes est un arrangement : P(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720. Choisir un comité de 3 personnes parmi les mêmes 10 personnes est une combinaison : C(10, 3) = 720 / 6 = 120.

Formules

Factorielle : n! = n · (n − 1) · … · 2 · 1 et 0! = 1.

Arrangement : P(n, r) = n! / (n − r)!

Combinaison : C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!)

Éléments identiques : si certains des n objets sont identiques, n! / (n₁! · n₂! · …)

Combinaison avec répétition : choisir r éléments parmi n types avec répétition possible donne C(n + r − 1, r)

Permutation circulaire : n personnes peuvent s’asseoir autour d’une table ronde de (n − 1)! façons.

Exemples

Le nombre de mains de 5 cartes dans un jeu de 52 cartes est C(52, 5) = 2 598 960. Les lettres de MISSISSIPPI peuvent être ordonnées de 11! / (4! · 4! · 2!) = 34 650 façons différentes, car I et S apparaissent chacun quatre fois et P deux fois. Cinq personnes peuvent s’asseoir autour d’une table ronde de 4! = 24 façons.

Pourquoi un résultat aussi long ?

Les factorielles croissent très vite. 20! comporte vingt chiffres moins un et 100! en comporte 158. Les calculatrices de poche arrondissent ces nombres. Cet outil utilise l’arithmétique entière et donne tous les chiffres, leur nombre et la notation scientifique.

Limites

n ne peut pas dépasser 10 000. n et r doivent être des entiers. La factorielle d’une valeur fractionnaire, via la fonction gamma, n’est pas couverte. L’outil compte les configurations sans calculer de probabilités.

Questions fréquentes

Comment calculer des combinaisons sans répétition ?

Dans cet exemple, choisir 3 éléments parmi 8 éléments distincts sans répétition donne 56 sélections si l’ordre ne compte pas. La formule des combinaisons divise le nombre de sélections ordonnées par le nombre d’ordres possibles des éléments choisis. Chaque élément ne peut être pris qu’une fois. Le résultat est un dénombrement, pas une probabilité.

Calculer avec ces valeurs