Calculateur de vecteurs : addition, produit scalaire et produit vectoriel

Définition d’un vecteur

Un vecteur est une grandeur possédant une norme et une direction. Une force, une vitesse et un déplacement sont des vecteurs. Un vecteur est donné par ses composantes (A = (3, 4)) ou par sa norme et son angle (5 unités à 53,13°). Cet outil propose quatre opérations sur les vecteurs à deux ou trois dimensions : addition et résultante, produit scalaire et angle, produit vectoriel et produit mixte.

Addition et résultante

Les vecteurs s’additionnent composante par composante. Un vecteur donné par sa norme et son angle est d’abord décomposé : Ax = |A| · cos θ et Ay = |A| · sin θ. Deux forces perpendiculaires de 3 et 4 unités ont pour résultante (3, 4). Sa norme vaut √(9 + 16) = 5 et sa direction arctan(4/3) = 53,13°. L’outil additionne jusqu’à six vecteurs. Pour soustraire un vecteur, choisissez le signe moins.

Produit scalaire et angle

Le produit scalaire est un nombre : A · B = Ax·Bx + Ay·By + Az·Bz. Comme il vaut aussi |A| · |B| · cos θ, il permet de calculer l’angle entre deux vecteurs. Pour A = (2, 2, −1) et B = (5, −3, 2), on obtient A · B = 2, |A| = 3, |B| = √38 et θ = 83,79°. Si le produit scalaire est nul, les vecteurs sont orthogonaux.

Produit vectoriel

Le produit vectoriel est un nouveau vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs initiaux. Sa norme égale l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent. Pour A = (1, 3, 4) et B = (2, 7, −5), le résultat est A × B = (−43, 13, 1). Inverser l’ordre change le signe : B × A = −(A × B).

Produit mixte

Le nombre A · (B × C) est le volume orienté du parallélépipède engendré par trois vecteurs. S’il est nul, les trois vecteurs sont coplanaires.

Limites

Saisissez tous les vecteurs dans la même unité. L’outil ne convertit pas les unités. Le graphique est tracé uniquement en deux dimensions. Les calculs utilisent des nombres décimaux sans produire de formes radicales exactes.

Questions fréquentes

Comment calculer la somme vectorielle de deux forces ?

Par exemple, la résultante de A = (3, 0) et B = (0, 4) est (3, 4), de norme 5 N. Additionnez les composantes correspondantes et prenez la racine carrée de la somme de leurs carrés pour obtenir la norme. Utilisez des unités cohérentes et considérez ces forces comme coplanaires.