Calculateur de cercle de Mohr et de contraintes combinées

Définition du cercle de Mohr

La contrainte en un point dépend de l’orientation du plan de coupe. Lorsque le même élément tourne, les contraintes normales et tangentielles sur ses faces changent. Le cercle de Mohr représente ce changement : la contrainte normale est portée sur l’axe horizontal, le cisaillement sur l’axe vertical, et toutes les orientations possibles se situent sur un cercle.

Le centre du cercle est la contrainte moyenne : σ_avg = (σx + σy) / 2. Son rayon vaut R = √(((σx − σy) / 2)² + τxy²).

Contraintes principales et cisaillement maximal

Les intersections du cercle avec l’axe horizontal donnent les contraintes principales : σ1 = σ_avg + R et σ2 = σ_avg − R. Le cisaillement est nul sur ces plans. La direction principale découle de tan 2θp = 2 × τxy / (σx − σy).

Les points supérieur et inférieur donnent le cisaillement maximal dans le plan : τmax = R. Ces plans sont inclinés de 45° par rapport aux plans principaux et portent une contrainte normale égale à la contrainte moyenne.

Convention de signe

• La traction est positive, la compression négative.
• τxy est positif lorsqu’il agit vers le haut sur la face droite de l’élément.
• L’angle θ est positif dans le sens antihoraire depuis l’axe x.
• L’axe du cisaillement est positif vers le bas. Une rotation de θ de l’élément correspond alors à un déplacement de 2θ sur le cercle dans le même sens.

Exemple

Prenez σx = 50 MPa, σy = −10 MPa et τxy = 40 MPa. La moyenne vaut 20 MPa et le rayon √(30² + 40²) = 50 MPa. Les contraintes principales valent 70 MPa et −30 MPa et le cisaillement maximal vaut 50 MPa. Comme tan 2θp = 80 / 60, la direction principale est à 26,6° dans le sens antihoraire depuis l’axe x.

Troisième contrainte principale

En contrainte plane, la contrainte principale normale au plan est nulle. Lorsque les deux contraintes principales du plan ont le même signe, le cisaillement maximal réel se produit hors du plan. Il vaut la moitié de la contrainte principale de plus grande valeur absolue. Le calculateur indique séparément cette valeur absolue.

Limites

L’outil effectue uniquement la transformation des contraintes. Pour évaluer la sécurité, comparez les contraintes principales à la résistance du matériau à l’aide d’un critère de plastification ou de rupture.

Questions fréquentes

Comment obtenir les contraintes principales avec le cercle de Mohr ?

Dans cet exemple, les composantes de contrainte plane 50 MPa, -10 MPa et le cisaillement 40 MPa donnent les contraintes principales 70 MPa et -30 MPa. Ajoutez le rayon au centre du cercle de Mohr puis soustrayez ce rayon. Cette transformation préliminaire des contraintes n’évalue ni la plastification du matériau ni sa résistance à la rupture.

Calculer avec ces valeurs