Vergleichsspannung nach von Mises berechnen

Vergleichsspannungen nach von Mises und Tresca, Hauptspannungen und Sicherheit gegen Fließen aus ebenem Spannungszustand, sechs Komponenten oder drei Hauptspannungen.

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Hinweis zur Vorbemessung: Diese Berechnung dient der Vorbemessung. Für einen gegebenen Spannungszustand ermittelt sie die Vergleichsspannungen nach von Mises (Gestaltänderungsenergie) und Tresca (größte Schubspannung) sowie den Sicherheitsfaktor gegen Fließen bei statischer Last. Sie beschreibt nur den Fließbeginn duktiler, isotroper Werkstoffe. Spröde Werkstoffe, Ermüdung, Knicken, Kriechen und Bruchmechanik sind nicht erfasst. Formzahlen und Lastbeiwerte sind nicht enthalten. Ihre Eingaben gelten als tatsächliche Spannungen am betrachteten Punkt. Die Streckgrenze ist eine Benutzereingabe. Die abschließende Bemessung erfolgt nach geltender Norm durch einen qualifizierten Ingenieur.

Formeln

Alle Berechnungsarten

Tresca und größte Schubspannung: σ_{T} = σ_{max} − σ_{min}, τ_{max} = σ_{T} / 2
Sicherheitsfaktoren: n = S_{y} / σ_{vM}, n = S_{y} / σ_{T}

Ebener Spannungszustand

Von Mises, ebener Spannungszustand: σ_{vM} = √(σ_{x}² − σ_{x} · σ_{y} + σ_{y}² + 3 · τ_{xy}²)
Hauptspannungen, ebener Zustand: σ_{1,2} = (σ_{x} + σ_{y}) / 2 ± √(((σ_{x} − σ_{y}) / 2)² + τ_{xy}²)

Sechs Komponenten (3D)

Von Mises, sechs Komponenten: σ_{vM} = √(½ · [(σ_{x} − σ_{y})² + (σ_{y} − σ_{z})² + (σ_{z} − σ_{x})²] + 3 · (τ_{xy}² + τ_{yz}² + τ_{zx}²))

Hauptspannungen

Von Mises, Hauptspannungen: σ_{vM} = √(½ · [(σ_{1} − σ_{2})² + (σ_{2} − σ_{3})² + (σ_{3} − σ_{1})²])

Annahmen

Verfahren: statische Fließkriterien für duktile Werkstoffe. Gestaltänderungsenergiehypothese (von Mises) und Schubspannungshypothese (Tresca), Mechanical Engineering Design, Kapitel zum Versagen bei statischer Belastung.
Vorzeichen: Zugspannung positiv, Druckspannung negativ eingeben. Das Vorzeichen der Schubspannungen ändert das Ergebnis nach von Mises nicht, ebenso wenig das Ergebnis nach Tresca im ebenen Spannungszustand. Räumlich hängen Hauptspannungen und Ergebnis nach Tresca von den Schubspannungsvorzeichen ab. Geben Sie alle drei Schubspannungen nach der Vorzeichenkonvention desselben Achsensystems ein.
Im ebenen Spannungszustand ist die Hauptspannung senkrecht zur Ebene null. Zusammen mit den ebenen Werten σ1 und σ2 geordnet kann null der größte, mittlere oder kleinste Wert sein. Tresca und die größte Schubspannung berücksichtigen diesen Nullwert und können deshalb größer als die Werte in der Ebene sein.
Die Vergleichsspannung nach Tresca ist immer gleich oder größer als der Wert nach von Mises. Der Unterschied beträgt höchstens etwa 15 % (2 / √3 bei reinem Schub).
Bei gleich großer dreiachsiger (hydrostatischer) Spannung sind beide Vergleichsspannungen null. Diese Kriterien können einen Bruch bei hydrostatischem Zug nicht vorhersagen.
Der Werkstoff wird als isotrop mit gleicher Streckgrenze bei Zug und Druck angenommen. Die Kriterien gelten nicht für spröde Werkstoffe wie Gusseisen.
Die Eingaben müssen die tatsächlichen Spannungen am betrachteten Punkt sein. Spannungskonzentrationen an Kerben, Löchern und Schweißnahtübergängen sind gesondert einzubeziehen.

Was ist die Vergleichsspannung nach von Mises?

Die Spannung in einem Maschinenteil oder Tragglied ist selten einachsig. Zug, Druck und Schub wirken am selben Punkt zusammen. Die Streckgrenze stammt dagegen aus einem einachsigen Zugversuch. Die Vergleichsspannung nach von Mises reduziert den mehrachsigen Spannungszustand auf einen Wert, der mit diesem Versuch vergleichbar ist. Erreicht sie die Streckgrenze, beginnt ein duktiler Werkstoff zu fließen.

Für den ebenen Spannungszustand gilt σ_vM = √(σx² − σx × σy + σy² + 3 × τxy²). Bei bekannten drei Hauptspannungen verwenden Sie σ_vM = √(½ × [(σ1 − σ2)² + (σ2 − σ3)² + (σ3 − σ1)²]).

Das Kriterium nach Tresca

Das Kriterium nach Tresca (größte Schubspannung) ist einfacher. Die Vergleichsspannung ist die Differenz zwischen größter und kleinster Hauptspannung. Sie ist stets gleich oder größer als der Wert nach von Mises und damit konservativer. Versuche an duktilen Metallen stimmen besser mit von Mises überein. Der Rechner zeigt beide Werte nebeneinander.

Sicherheitsfaktor

Der Sicherheitsfaktor gegen Fließen lautet n = S_y / σ_vM. Bei 1 liegt der Werkstoff an der Fließgrenze. Welcher Wert genügt, hängt von Lastunsicherheit, Versagensfolgen und maßgebender Norm ab.

Beispiel

An einem Punkt gelten σx = 60, σy = 40 und τxy = −15 MPa, die Streckgrenze beträgt 100 MPa. Damit ist σ_vM = √(60² − 60 × 40 + 40² + 3 × 15²) = √3475 = 58,95 MPa und n = 1,70. Die Hauptspannungen betragen 68,03 und 31,97 MPa. Da die dritte Hauptspannung null ist, beträgt die Vergleichsspannung nach Tresca 68,03 MPa und ihr Sicherheitsfaktor 1,47.

Grenzen

Diese Kriterien beschreiben nur den Fließbeginn duktiler Werkstoffe bei statischer Last. Bei wiederholter Belastung kann Ermüdung, bei schlanken Druckgliedern Knicken maßgebend sein. Spröde Werkstoffe wie Gusseisen, Beton und Glas erfordern andere Kriterien. Die eingegebenen Spannungen sollten Spannungskonzentrationen an Kerben und Löchern bereits enthalten.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Vergleichsspannung nach von Mises aus Hauptspannungen?

Beispielsweise ergeben Hauptspannungen von 100, 0 und -100 MPa eine Vergleichsspannung nach von Mises von 173,2 MPa. Ziehen Sie die Quadratwurzel aus der halben Summe der quadrierten Hauptspannungsdifferenzen. Diese vorläufige Beurteilung des duktilen Fließens erfasst weder Ermüdung noch Knicken oder Sprödbruch.

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