Mohrschen Spannungskreis berechnen

Was ist der Mohrsche Spannungskreis?

Die Spannungen an einem Punkt hängen von der Orientierung der Schnittfläche ab. Beim Drehen desselben Elements ändern sich die Normalspannungen und Schubspannungen auf seinen Flächen. Der Mohrsche Spannungskreis zeigt diese Änderung in einem Bild. Auf der horizontalen Achse liegt die Normalspannung, auf der vertikalen die Schubspannung. Jede mögliche Orientierung entspricht einem Punkt auf dem Kreis.

Der Kreismittelpunkt ist die mittlere Spannung σ_avg = (σx + σy) / 2. Der Radius ist R = √(((σx − σy) / 2)² + τxy²).

Hauptspannungen und maximale Schubspannung

Die Schnittpunkte des Kreises mit der horizontalen Achse sind die Hauptspannungen σ1 = σ_avg + R und σ2 = σ_avg − R. Auf diesen Flächen ist die Schubspannung null. Die Hauptrichtung folgt aus tan 2θp = 2 × τxy / (σx − σy).

Der obere und untere Kreispunkt liefern die maximale Schubspannung in der Ebene τmax = R. Diese Flächen liegen um 45° zu den Hauptflächen gedreht. Ihre Normalspannung entspricht der mittleren Spannung.

Vorzeichenkonvention

Zugspannungen werden positiv, Druckspannungen negativ eingegeben. τxy ist positiv, wenn sie auf der rechten Elementfläche nach oben wirkt. θ ist gegen den Uhrzeigersinn ab der Achse x positiv. Die Schubspannungsachse ist nach unten positiv. Eine Drehung des Elements um θ entspricht dann einer Bewegung um 2θ auf dem Kreis in derselben Richtung.

Beispiel

Für σx = 50 MPa, σy = −10 MPa und τxy = 40 MPa beträgt die mittlere Spannung 20 MPa. Der Radius ist √(30² + 40²) = 50 MPa. Die Hauptspannungen sind 70 MPa und −30 MPa, die maximale Schubspannung ist 50 MPa. Aus tan 2θp = 80 / 60 folgt eine Hauptrichtung von 26,6° gegen den Uhrzeigersinn ab der Achse x.

Die dritte Hauptspannung

Beim ebenen Spannungszustand ist die Hauptspannung senkrecht zur Ebene null. Haben beide Hauptspannungen in der Ebene dasselbe Vorzeichen, liegt die tatsächliche maximale Schubspannung außerhalb der Ebene. Sie beträgt die Hälfte des größeren Hauptspannungsbetrags. Der Rechner gibt diesen absoluten Wert gesondert an.

Grenzen

Das Werkzeug führt nur die Spannungstransformation durch. Für eine Sicherheitsbewertung müssen die Hauptspannungen mit der Werkstofffestigkeit anhand eines Fließkriteriums oder Bruchkriteriums verglichen werden.

Häufige Fragen

Wie werden Hauptspannungen aus dem Mohrschen Spannungskreis bestimmt?

Bei den ebenen Spannungskomponenten 50 MPa, -10 MPa und der Schubspannung 40 MPa betragen die Hauptspannungen in diesem Beispiel 70 MPa und -30 MPa. Addieren Sie den Radius zum Kreismittelpunkt und subtrahieren Sie ihn davon. Diese vorläufige Spannungstransformation bewertet weder das Fließen des Werkstoffs noch dessen Bruchfestigkeit.

Mit diesen Werten berechnen