Umlaufzeit und Bahngeschwindigkeit berechnen

Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit

Die Gravitation hält einen Satelliten auf seiner Bahn. Bei einer Kreisbahn entspricht die Gravitationskraft der Zentripetalkraft: G × M × m / r² = m × v² / r. Daraus folgen

v = √(G × M / r) und T = 2 × π × √(r³ / (G × M))

M ist die Masse des Zentralkörpers und r der vom Mittelpunkt gemessene Bahnradius. Addieren Sie den Planetenradius zur Höhe über der Oberfläche. Die Satellitenmasse beeinflusst das Ergebnis nicht.

Beispiel: Satellit in 400 km Höhe

Für die Erde gilt r = 6371 + 400 = 6771 km. Die Geschwindigkeit beträgt √(3,986 × 10¹⁴ / 6,771 × 10⁶) = 7673 m/s, etwa 27 600 km/h. Ein Umlauf dauert 92,4 Minuten.

Geosynchrone und geostationäre Umlaufbahnen

Eine Erdumlaufbahn mit der Umlaufzeit eines siderischen Tages (23,9345 Stunden) ist geosynchron. Im idealen Modell zweier Körper kehrt der Satellit jeden siderischen Tag an dieselbe Position relativ zur Erde zurück. Auf einer geneigten oder elliptischen geosynchronen Umlaufbahn steht er nicht fest am Himmel. Die geostationäre Umlaufbahn ist der kreisförmige Sonderfall in der Äquatorebene (Bahnneigung 0) und in Richtung der Erdrotation. Nur unter diesen Bedingungen bleibt der Satellit über einem festen Punkt am Äquator. Bei Annahme kreisförmiger Umlaufbahnen haben beide einen Radius von etwa 42 164 km und eine Höhe von etwa 35 786 km bezogen auf den Äquatorradius. Bei einer elliptischen Umlaufbahn bestimmt dieselbe Umlaufzeit die große Halbachse, während die momentane Höhe variiert.

Drittes Gesetz von Kepler

Für Planeten gilt dieselbe Beziehung: T² = 4 × π² × a³ / (G × M). Das Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse. Ein Körper im Abstand von 1 au zur Sonne hat eine Umlaufzeit von 1 Jahr. Mars mit 227,956 Millionen km Abstand benötigt 687 Tage. Sind Bahn und Umlaufzeit bekannt, lässt sich mit derselben Formel die Masse des Zentralkörpers bestimmen. So folgt die Erdmasse aus der Mondbahn.

Grenzen

Die Masse des umlaufenden Körpers wird gegenüber dem Zentralkörper vernachlässigt. Atmosphärischer Widerstand und Anziehung anderer Körper bleiben unberücksichtigt. Massen und Radien stammen aus planetaren Datentabellen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Umlaufzeit aus der großen Halbachse?

Eine Bahn um die Sonne mit einer großen Halbachse von beispielsweise 1 au hat eine Umlaufzeit von 365,3 Tagen. Die Beziehung nach Kepler verwendet die große Halbachse und die Zentralmasse. Die umlaufende Masse wird vernachlässigt. Störungen durch andere Planeten und atmosphärischer Widerstand werden nicht erfasst.

Mit diesen Werten berechnen