Mohr Dairesi ve Birleşik Gerilme Hesaplama

Mohr dairesi nedir?

Bir noktadaki gerilme, o noktadan geçirilen düzlemin yönüne göre değişir. Aynı elemanı döndürdüğünüzde normal ve kayma gerilmelerinin değerleri de değişir. Mohr dairesi bu değişimi tek bir çizimde gösterir: yatay eksende normal gerilme, düşey eksende kayma gerilmesi vardır ve bütün olası yönler bir daire üzerinde durur.

Dairenin merkezi ortalama gerilmedir: σ_ort = (σx + σy) / 2. Yarıçapı R = √(((σx − σy) / 2)² + τxy²) olur.

Asal gerilmeler ve en büyük kayma

Dairenin yatay ekseni kestiği iki nokta asal gerilmelerdir: σ1 = σ_ort + R ve σ2 = σ_ort − R. Bu düzlemlerde kayma gerilmesi sıfırdır. Asal doğrultunun açısı tan 2θp = 2 × τxy / (σx − σy) ile bulunur.

Dairenin en üst ve en alt noktaları düzlem içi en büyük kayma gerilmesini verir: τmax = R. Bu düzlemler asal düzlemlerle 45° yapar ve üzerlerindeki normal gerilme ortalama gerilmeye eşittir.

İşaret kuralı

• Çekme gerilmesi artı, basınç gerilmesi eksi girilir.
• Kayma gerilmesi τxy, elemanın sağ yüzünde yukarı doğru etkiyorsa artıdır.
• Açı θ, x ekseninden saat yönünün tersine artıdır.
• Çizimde kayma ekseni aşağı doğru artıdır. Böylece elemanı θ kadar döndürmek dairede aynı yönde 2θ dönmek demektir.

Örnek

σx = 50 MPa, σy = −10 MPa ve τxy = 40 MPa olsun. Ortalama gerilme 20 MPa, yarıçap √(30² + 40²) = 50 MPa çıkar. Asal gerilmeler 70 MPa ve −30 MPa, en büyük kayma gerilmesi 50 MPa olur. tan 2θp = 80 / 60 olduğundan asal doğrultu x ekseninden 26.6° saat yönünün tersinedir.

Üçüncü asal gerilme

Düzlem gerilmede düzleme dik yöndeki asal gerilme sıfırdır. İki asal gerilme aynı işaretliyse gerçek en büyük kayma gerilmesi düzlem içinde değil, düzlem dışına doğru oluşur ve büyük olan asal gerilmenin yarısına eşittir. Araç bu mutlak değeri ayrıca verir.

Sınırlar

Araç yalnız gerilme dönüşümünü yapar. Sonucun güvenli olup olmadığına karar vermek için asal gerilmeleri bir akma ya da kırılma ölçütüyle malzeme dayanımına karşı değerlendirmek gerekir.