Grenzwert einer rationalen Funktion berechnen

Rationalen Grenzwert bestimmen

Kürzen Sie zunächst gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner. Ist der gekürzte Nenner an der Grenzwertstelle ungleich null, setzen Sie diese Stelle in den gekürzten Ausdruck ein. Polynomkoeffizienten werden als Brüche verarbeitet. Der Rechner zeigt einen Zahlenwert und einen Bruch an.

Beispiel

Die Zerlegung von x²−1 lautet (x−1)(x+1). Nach Kürzen von x−1 in (x²−1)/(x−1) bleibt x+1. Für x gegen 1 ist der Grenzwert 2, obwohl der ursprüngliche Ausdruck bei 1 nicht definiert ist.

Umfang

Dieser Rechner bestimmt endliche Grenzwerte von Polynomen und rationalen Funktionen an endlichen Stellen. Allgemeine symbolische Grenzwerte, Wurzelausdrücke, trigonometrische Ausdrücke, Logarithmen und Grenzwerte im Unendlichen werden nicht gelöst. Ein gekürzter Nenner von null verhindert ein endliches Ergebnis.

Unbestimmtheit und Ergebnis unterscheiden

Sind Zähler und Nenner beim Einsetzen beide null, bedeutet das nicht, dass das Ergebnis null ist. Direktes Einsetzen reicht dann nicht aus. Ein gemeinsamer Faktor wird für benachbarte Werte außerhalb der Annäherungsstelle gekürzt. Da der Grenzwert dieses Verhalten beschreibt, kann er endlich sein, obwohl der Funktionswert an der Stelle nicht definiert ist.

Betrachten Sie beispielsweise (x²−9)/(x−3) für x gegen 3. Der Zähler wird zu (x−3)(x+3). Nach Kürzen von x−3 bleibt x+3. Einsetzen von 3 ergibt 6. Der ursprüngliche Bruch besitzt bei x=3 weiterhin einen Nenner von null. Der Grenzwert 6 definiert den ursprünglichen Funktionswert dort nicht automatisch.

Setzen Sie den vollständigen Zähler und Nenner in Klammern. Explizite Multiplikation vermeidet Eingabefehler bei mehreren Termen. Gekürzt werden gemeinsame Faktoren, nicht einzelne Summanden.

Bleibt der gekürzte Nenner null, bedeutet das fehlende endliche Ergebnis keine vollständige Klassifikation aller Grenzfälle. Unendliches Verhalten von links und rechts ist gesondert zu prüfen. Die Bruchausgabe ist ein algebraischer Wert der eingegebenen Koeffizienten, keine unbegrenzte physikalische Genauigkeit gemessener Koeffizienten. Für andere Funktionstypen benötigen Sie ein passendes analytisches oder symbolisches Verfahren.