Calculateur de treillis

Comment résoudre un treillis ?

Un treillis est une structure de barres droites articulées à leurs extrémités. Lorsque les charges agissent aux nœuds, chaque barre ne porte qu’un effort axial de traction ou de compression. Ce calculateur utilise les coordonnées des nœuds, les barres, les appuis et les charges nodales avec la méthode des rigidités directes pour déterminer les efforts, les réactions et les déplacements nodaux. Le dessin distingue la traction de la compression par la couleur et adapte l’épaisseur des barres à l’effort.

Méthode

La rigidité d’une barre vaut k = E × A / L. Une matrice élémentaire 4 × 4 est construite avec les cosinus directeurs. Les barres sont assemblées dans la matrice du système, les degrés de liberté bloqués sont séparés et K × u = F est résolu. L’effort découle des déplacements relatifs des extrémités : N = (E × A / L) × (Δu × cos θ + Δv × sin θ). Une valeur positive indique la traction, une valeur négative la compression. Les réactions R = K × u − F sont vérifiées par l’équilibre global de la structure.

Isostaticité

Soit m le nombre de barres, r le nombre de composantes de réaction et j le nombre de nœuds. Si m + r = 2 × j, le treillis est isostatique et les efforts ne dépendent pas des aires des sections. Si m + r est supérieur, le treillis est hyperstatique et les efforts dépendent des rigidités relatives. S’il est inférieur, la structure est un mécanisme. Même avec un décompte correct, un panneau sans diagonale rend le treillis instable. Le calculateur détecte la matrice singulière et indique le nœud à examiner.

Exemple

Un treillis Pratt à quatre panneaux de 3 m, de hauteur 4 m, porte 20 kN à chaque nœud de la membrure inférieure. Chaque réaction vaut 30 kN. La barre inclinée d’extrémité porte 30 / 0,8 = 37,5 kN en compression, la membrure inférieure 22,5 kN en traction, la supérieure 30 kN en compression et les diagonales 12,5 kN en traction. Le montant central est une barre sans effort. La disposition Howe sur les mêmes nœuds met les diagonales en compression à 12,5 kN.

Limites

Les charges agissent uniquement aux nœuds. Les charges sur les barres et leur poids propre sont exclus. Les nœuds sont des articulations sans frottement. Le flambement, les assemblages et la résistance sont hors périmètre. Les appuis mobiles inclinés et les tassements ne peuvent être définis. Le calcul est préliminaire.

Questions fréquentes

Comment calculer les contraintes dans les barres d’un treillis ?

Dans un treillis triangulaire de 6 m de portée et 4 m de hauteur, chargé de 20 kN au sommet, chaque barre inclinée de 20 cm² porte une contrainte de -6,25 MPa, négative en compression. Ce calcul préliminaire divise l’effort obtenu par la méthode des rigidités par l’aire. Il suppose des nœuds articulés, une articulation et un appui mobile, et exclut le flambement et les assemblages.