Calculadora de cerchas

¿Cómo se resuelve una cercha?

Una cercha es una estructura de barras rectas articuladas en sus extremos. Cuando las cargas actúan en los nudos, cada barra solo transmite fuerza axial: tracción o compresión. Esta calculadora aplica el método de rigidez directa a las coordenadas, barras, apoyos y cargas nodales para obtener las fuerzas, reacciones y desplazamientos. En el dibujo, las barras traccionadas y comprimidas tienen colores distintos y un grosor proporcional a la fuerza.

Método

La rigidez de una barra es k = E × A / L. Con sus cosenos directores se forma una matriz de 4 × 4, se ensamblan las barras en la matriz del sistema, se separan los grados de libertad restringidos y se resuelve K × u = F. La fuerza se obtiene de la diferencia de desplazamientos de los extremos: N = (E × A / L) × (Δu × cos θ + Δv × sin θ). El signo positivo indica tracción y el negativo compresión. Las reacciones proceden de R = K × u − F y se comprueban con el equilibrio global.

Isostaticidad

Sean m el número de barras, r las componentes de reacción y j el número de nudos. Si m + r = 2 × j, la cercha es isostática y las fuerzas no dependen de las áreas. Si m + r es mayor, es hiperestática y las fuerzas dependen de las rigideces relativas. Si es menor, la estructura es un mecanismo. Incluso si el recuento coincide, un panel sin diagonal puede ser inestable. La calculadora lo detecta por la singularidad de la matriz e indica qué nudo revisar.

Ejemplo

Una cercha Pratt de cuatro paneles de 3 m y altura de 4 m recibe 20 kN en cada nudo del cordón inferior. Cada reacción es 30 kN. La barra extrema inclinada soporta 30 / 0,8 = 37,5 kN a compresión, el cordón inferior 22,5 kN a tracción, el superior 30 kN a compresión y las diagonales 12,5 kN a tracción. El montante central no transmite fuerza. Al cambiar a una disposición Howe con los mismos nudos, las diagonales pasan a soportar 12,5 kN a compresión.

Límites

Las cargas solo actúan en los nudos, por lo que no se incluyen cargas a lo largo de las barras ni el peso propio. Los nudos se consideran articulaciones sin fricción. El pandeo de barras comprimidas, las uniones y las comprobaciones de resistencia quedan fuera del alcance. No se pueden definir apoyos móviles inclinados ni asientos. El cálculo es preliminar.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula la tensión en las barras de una cercha?

Por ejemplo, en una cercha triangular de luz 6 m y altura 4 m con carga de 20 kN en el vértice, la tensión de cada barra inclinada de área 20 cm² es -6,25 MPa, negativa por compresión. Este cálculo preliminar divide la fuerza del método de rigidez entre el área, supone nudos articulados con un apoyo articulado y otro móvil y excluye el pandeo y las uniones.