Knicklast nach Euler berechnen

Knicklast nach Euler

Ein schlanker Druckstab verliert durch seitliches Ausweichen seine Tragfähigkeit lange bevor der Werkstoff durch Druck versagt. Dies heißt Knicken. Die Last bei Knickbeginn eines idealen Stabs lautet nach Euler P_cr = π² × E × I / (K × L)². E ist der Elastizitätsmodul, I das kleinste Flächenträgheitsmoment, L die Stablänge und K der von der Lagerung abhängige Knicklängenbeiwert.

Die kritische Last hängt von der Steifigkeit und nicht von der Festigkeit ab. Eine höhere Stahlfestigkeitsklasse erhöht die Knicklast eines schlanken Stabs nicht, da der Elastizitätsmodul gleich bleibt. Eine Halbierung der Länge vervierfacht dagegen die Last.

Lagerungen und Knicklänge

Die Knicklänge K × L ist der Abstand zwischen zwei Wendepunkten der Knickfigur.

• Beidseitig gelenkig: K = 1
• Einseitig eingespannt, anderes Ende gelenkig: K = 0,7
• Beidseitig eingespannt: K = 0,5
• Einseitig eingespannt, anderes Ende frei (Fahnenmast): K = 2

Dies sind theoretische Werte. Eine reale Fußplatte oder Schweißverbindung verdreht sich geringfügig. Deshalb verwendet die Bemessung bei eingespannten Enden größere Werte für K.

Schlankheit und Gültigkeit

Die Schlankheit beträgt λ = K × L / i mit dem Trägheitsradius i = √(I / A). Die kritische Spannung ist σ_cr = π² × E / λ². Die Formel nach Euler gilt nur, solange diese Spannung unter der Proportionalitätsgrenze des Werkstoffs bleibt. Unterhalb von λ_p = π × √(E / σ_p) beginnt der Stab vor dem elastischen Knicken zu fließen. Das Ergebnis nach Euler übersteigt dann die tatsächliche Tragfähigkeit. Der Rechner kennzeichnet dies gesondert.

Beispiel

Ein Stahlrohr mit 75 mm Außenradius und 70 mm Innenradius ist 7,2 m lang und beidseitig gelenkig gelagert. Sein I beträgt 5,993 × 10⁶ mm⁴. Mit E = 200 GPa ergibt sich P_cr = π² × 200 000 × 5 993 079 / 7200² = 228,2 kN. Die Fläche beträgt 2278 mm² und die kritische Spannung 100,2 MPa. Sie liegt unter der Streckgrenze von 250 MPa. Die Formel nach Euler ist somit anwendbar.

Grenzen

Die Last nach Euler ist eine obere Grenze. Reale Druckstäbe sind nicht vollkommen gerade, enthalten Eigenspannungen aus Walzen und Schweißen und werden nie exakt durch den Schwerpunkt belastet. Stahlbaunormen bestimmen den Stützenwiderstand deshalb mit Knicklinien. Das Ergebnis liegt stets unter der Last nach Euler. Verwenden Sie diesen Rechner zur Vorbemessung und zum Lernen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Knicklast nach Euler?

Für einen beidseitig gelenkigen Beispielstab mit 7,2 m Länge, 200 GPa Elastizitätsmodul und 599,3079 cm⁴ kleinstem Flächenträgheitsmoment beträgt die kritische Last nach Euler 228,2 kN. Sie ist gleich Pi zum Quadrat mal Modul mal Flächenträgheitsmoment geteilt durch das Quadrat der Knicklänge. Die Beziehung gilt ab der Grenzschlankheit. Diese Vorberechnung setzt einen idealen elastischen Stab voraus und berücksichtigt weder Vorverkrümmung noch außermittige Belastung.

Mit diesen Werten berechnen