Binomialverteilung und Poissonverteilung berechnen

Zwei diskrete Verteilungen

Die Binomialverteilung beschreibt die Erfolgszahl bei einer festen Anzahl von Versuchen. Die Versuche müssen unabhängig sein und dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit haben. Die Poissonverteilung modelliert die Ereigniszahl in einem festen Zeitintervall oder Raumbereich mit dem Erwartungswert λ.

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Die Einzelwahrscheinlichkeit gilt nur für k Ereignisse. Die kumulierte Wahrscheinlichkeit enthält alle Anzahlen von null bis einschließlich k. Der obere Verteilungsschwanz enthält Anzahlen strikt größer als k. Bei fünf Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit ein Halb haben genau zwei Erfolge die Wahrscheinlichkeit 10/32 = 0,3125. Für ein Intervall nach dem Poissonmodell mit erwarteter Anzahl eins beträgt die Wahrscheinlichkeit für kein Ereignis exp(−1). Die Modellwahl hängt von der Struktur der Beobachtungen ab.

Mindestens und mehr als unterscheiden

Betrachten Sie vier unabhängige Versuche mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0,5 und Schwelle zwei. Genau zwei Erfolge haben die Wahrscheinlichkeit C(4, 2) × 0,5⁴ = 6/16 = 0,375. Höchstens zwei ergeben (1 + 4 + 6)/16 = 0,6875. Der obere Verteilungsschwanz enthält mehr als zwei und beträgt (4 + 1)/16 = 0,3125. Für mindestens zwei wird die Einzelwahrscheinlichkeit zum oberen Verteilungsschwanz addiert. Das ergibt 0,6875. Die gleichen Wahrscheinlichkeiten folgen hier aus der Symmetrie bei vier Versuchen und p = 0,5. Das gilt nicht allgemein.

Bei Poisson bezeichnet λ die erwartete Gesamtzahl im gewählten Intervall, keine Ereignisrate. Ist eine Stundenrate bekannt, passen Sie den Erwartungswert an die Dauer des Beobachtungsintervalls an. Bei der Binomialverteilung ist p die Wahrscheinlichkeit eines Versuchs und nicht die beobachtete Erfolgszahl.

Die Bezeichnung Erfolg bedeutet weder erwünscht noch sicher. Dasselbe Modell kann Ausfälle beschreiben. Wählen Sie eine Verteilung bei abhängigen Versuchen oder zeitlich wechselnder Rate nicht allein wegen plausibel wirkender Ergebnisse. Geben Sie die Ungleichung für Einzelwahrscheinlichkeit, kumulierte Wahrscheinlichkeit und oberen Verteilungsschwanz ausdrücklich an, damit die Einbeziehung der Schwelle klar bleibt.

Häufige Fragen

Wie wird eine Binomialwahrscheinlichkeit berechnet?

Bei beispielsweise 5 unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0,5 ergibt die Formel der Binomialverteilung für genau 2 Erfolge die Wahrscheinlichkeit 0,3125. Jeder Versuch hat dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit. Dies ist eine Einzelwahrscheinlichkeit, keine kumulierte Wahrscheinlichkeit für höchstens diese Erfolgszahl.

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