Lois binomiale et de Poisson

Deux lois discrètes

La loi binomiale décrit le nombre de succès dans un nombre fixe d’essais. Les essais doivent être indépendants et avoir la même probabilité de succès. La loi de Poisson modélise le nombre d’événements dans un intervalle temporel ou spatial fixe, avec un nombre attendu λ.

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La probabilité exacte concerne uniquement k événements. La probabilité cumulée inclut tous les effectifs de zéro à k. La queue supérieure comprend les effectifs strictement supérieurs à k. Pour cinq essais de probabilité de succès égale à la moitié, la probabilité d’exactement deux succès est 10/32 = 0,3125. Pour un intervalle de Poisson avec un événement attendu, la probabilité d’aucun événement est exp(−1). Le choix du modèle dépend de la structure des observations.

Distinguer au moins et plus de

Considérez quatre essais indépendants de probabilité de succès 0,5 et un seuil de deux. Exactement deux succès ont pour probabilité C(4, 2) × 0,5⁴ = 6/16 = 0,375. Au plus deux donne (1 + 4 + 6)/16 = 0,6875. La queue supérieure comprend plus de deux et vaut (4 + 1)/16 = 0,3125. Pour au moins deux, ajoutez la probabilité exacte à la queue supérieure, soit 0,6875. Ces probabilités sont égales ici par symétrie avec quatre essais et p = 0,5. Ce n’est pas une égalité générale.

Dans le calcul de Poisson, λ est le nombre total attendu dans l’intervalle choisi, pas un taux d’événements. Si vous connaissez un taux horaire, adaptez le nombre attendu à la durée d’observation. Dans le calcul binomial, p est la probabilité d’un essai, pas le nombre observé de succès.

Appeler un événement succès ne signifie pas qu’il est souhaitable ou sûr. Le même modèle peut représenter des défaillances. Ne choisissez pas une distribution uniquement pour un résultat plausible si les essais sont dépendants ou le taux varie. Précisez l’inégalité pour indiquer clairement si le seuil est inclus.

Questions fréquentes

Comment calculer une probabilité binomiale ?

Dans cet exemple de 5 essais indépendants avec une probabilité de succès de 0,5, la formule binomiale donne 0,3125 pour exactement 2 succès. Chaque essai a la même probabilité de succès. Il s’agit de la probabilité d’un effectif exact et non de la probabilité cumulée d’obtenir au plus ce nombre de succès.

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