Test d’ajustement du khi-deux

Qualité de l’ajustement

Le test d’ajustement du chi carré compare les effectifs observés par catégorie aux effectifs attendus sous l’hypothèse nulle. Chaque catégorie contribue par (O − E)²/E et la statistique est leur somme. Les effectifs attendus ne sont pas des probabilités. Pour soixante observations et trois catégories équiprobables, les effectifs attendus sont 20, 20, 20.

Exemple et degrés de liberté

Des effectifs observés de 15, 20, 25 donnent une statistique de 2,5. Si aucun paramètre de la loi n’a été estimé sur ces données, les degrés de liberté valent 3 − 1 = 2 et la valeur p approchée est 0,286505. Estimer q paramètres sur les mêmes données réduit les degrés de liberté à k − 1 − q.

Validité

Les effectifs attendus doivent être suffisamment élevés. La valeur p approchée peut être trompeuse pour des catégories peu représentées. Le calculateur ne vérifie ni cette condition ni l’indépendance des observations. Il affiche le plus petit effectif attendu pour examen. Les tableaux de contingence et les tests de variance sont hors de son domaine.

Examiner la contribution de chaque classe

Ne modifiez pas arbitrairement la distribution attendue après avoir regardé les observations. Définissez d'abord les probabilités attribuées aux classes par l'hypothèse nulle. Multipliez ces probabilités par le nombre total d'observations pour obtenir les effectifs attendus. Gardez le même ordre des classes dans les deux listes. Un ordre différent peut conserver les totaux et modifier la comparaison.

Dans un exemple choisi, les effectifs observés sont 12, 18 et 30 et les effectifs attendus 20, 20 et 20. Les deux totaux valent 60. Les contributions sont 64/20 = 3,2, 4/20 = 0,2 et 100/20 = 5, donnant une statistique de 8,4. Sans paramètre estimé, les degrés de liberté sont 2. Dans ce cas particulier, la queue droite vaut exp(−8,4/2), soit environ p = 0,014996.

La dernière classe contribue le plus, mais cela n'explique pas la cause. Le carré efface le sens des écarts. Examinez aussi les effectifs et les résidus. Avec davantage d'observations, un même écart proportionnel peut produire une statistique plus grande. Ne confondez pas p avec l'importance pratique de l'effet. Regrouper des classes selon les résultats change le plan d'analyse et demande une justification distincte.

Questions fréquentes

Comment calculer un test d’ajustement du khi-deux ?

Dans cet exemple, les effectifs observés 15 20 25 et attendus 20 20 20 donnent une statistique du khi-deux de 2,5 et 2 degrés de liberté avec 0 paramètre estimé sur les données. Additionnez les carrés des différences entre observé et attendu divisés par les effectifs attendus. Vérifiez séparément l’indépendance et le niveau suffisant des effectifs attendus.

Calculer avec ces valeurs