Calculateur de PGCD et de PPCM

Que sont le PGCD et le PPCM ?

Le PGCD, plus grand commun diviseur, est le plus grand nombre qui divise tous les nombres donnés. Le PPCM, plus petit commun multiple, est le plus petit entier positif divisible par chacun de ces nombres. Le PGCD permet de simplifier des fractions et le PPCM de trouver un dénominateur commun. Cet outil calcule les deux pour deux à six nombres et détaille trois méthodes distinctes.

Algorithme d’Euclide

Divisez le plus grand nombre par le plus petit et conservez le reste. Divisez ensuite le plus petit nombre par ce reste. Répétez jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier diviseur est le PGCD. Pour 1071 et 462 : 1071 = 462 · 2 + 147, 462 = 147 · 3 + 21, 147 = 21 · 7 + 0. Le PGCD est donc 21. Cette méthode ne nécessite aucune factorisation et reste rapide pour de très grands nombres.

Méthode des facteurs premiers

Chaque nombre est décomposé en facteurs premiers. Le PGCD retient le plus petit exposant de chaque facteur commun et le PPCM le plus grand exposant de chaque facteur. Pour 48 = 2⁴ · 3 et 18 = 2 · 3², on obtient PGCD = 2 · 3 = 6 et PPCM = 2⁴ · 3² = 144.

Tableau de divisions successives

Cette présentation scolaire place les nombres côte à côte et les divise par des nombres premiers, en commençant par le plus petit. On marque un nombre premier lorsqu’il divise tous les nombres de la ligne. Le produit des facteurs marqués est le PGCD. Le produit de tous les facteurs est le PPCM.

Vérification et limites

Pour deux nombres, PGCD · PPCM = a · b est toujours vrai : 6 · 144 = 864 = 48 · 18. Pour trois nombres ou plus, ce n’est généralement pas le cas. L’outil accepte uniquement des entiers non nuls. Les décimaux et fractions ne sont pas acceptés et les nombres négatifs sont remplacés par leur valeur absolue.

Questions fréquentes

Comment calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres ?

Dans cet exemple, pour 24 et 36, le PGCD vaut 12 et le PPCM vaut 72, obtenus avec l’algorithme d’Euclide. Les divisions se poursuivent jusqu’au reste nul. Le dernier reste non nul donne le plus grand commun diviseur. Le produit des deux nombres divisé par le PGCD donne le PPCM, mais ce raccourci ne s’applique généralement pas à une liste plus longue.

Calculer avec ces valeurs