Calculateur de dilatation thermique et de frettage

Comment calculer la dilatation thermique ?

Les solides se dilatent à chaud et se contractent à froid. La variation de longueur est proportionnelle à la longueur initiale, à la variation de température et au coefficient du matériau : ΔL = α × L × ΔT. α donne la dilatation par unité de longueur et par kelvin. Il vaut environ 12 × 10⁻⁶ 1/K pour l’acier et 23 × 10⁻⁶ 1/K pour l’aluminium.

La relation vaut aussi pour un diamètre. L’alésage d’un moyeu chauffé grandit comme le diamètre d’un arbre chauffé, principe du frettage thermique.

Exemple

Un profilé d’acier de 10 mètres chauffe de 50 degrés. Il s’allonge de 12 × 10⁻⁶ × 10 × 50 = 0,006 m, soit 6 mm. Repère pratique : l’acier s’allonge d’environ 1,2 mm par mètre pour 100 degrés. L’aluminium se dilate environ deux fois plus.

Et si la dilatation est empêchée ?

Une pièce bloquée aux deux extrémités développe une contrainte : σ = E × α × ΔT. Cette contrainte ne dépend pas de la longueur. Pour l’acier, une hausse de 50 degrés donne 210 000 × 12 × 10⁻⁶ × 50 = 126 MPa de compression. Cette valeur élevée explique les jeux et joints de dilatation des longues conduites, rails, ponts et structures métalliques.

Ajustements serrés et frettage thermique

Un arbre légèrement plus grand que l’alésage, emmanché dans le moyeu, crée une pression de contact transmettant le couple par frottement. Les équations de Lamé donnent p = δ / (d × [(K_g + ν_g) / E_g + (K_m − ν_m) / E_m]). δ est le serrage diamétral. K_g et K_m dépendent des rapports de diamètres du moyeu et de l’arbre. Le couple transmissible est T = μ × p × π × d × L × d / 2.

Pour un serrage de 40 microns sur un diamètre de 50 mm, avec un moyeu d’acier de 100 mm et un arbre plein en acier, la pression vaut 63 MPa et la contrainte circonférentielle à l’alésage 105 MPa. Avec un jeu de montage de 20 microns, la température du moyeu doit dépasser la température ambiante de 100 degrés : ΔT = (δ + c) / (α × d).

Limites

Le coefficient varie avec la température, mais reste constant ici. Les onglets d’ajustement donnent un calcul préliminaire. Vérifiez séparément l’écrasement des aspérités, les tolérances, les effets centrifuges et la fatigue selon la norme. La contrainte est le cas maximal d’une dilatation entièrement empêchée. Les appuis réels cèdent légèrement et la contrainte diminue. Près de la limite d’élasticité, ou pour une pièce élancée susceptible de flamber, une analyse détaillée est nécessaire.