Wärmeausdehnung und Schrumpfverbindung berechnen

Wie wird Wärmeausdehnung berechnet?

Festkörper dehnen sich beim Erwärmen aus und schrumpfen beim Abkühlen. Die Längenänderung ist proportional zur Ausgangslänge, Temperaturänderung und zum Ausdehnungskoeffizienten: ΔL = α × L × ΔT. α gibt die Ausdehnung je Längeneinheit und Kelvin an. Für Stahl beträgt er etwa 12 × 10⁻⁶ 1/K, für Aluminium etwa 23 × 10⁻⁶ 1/K.

Dieselbe Beziehung gilt für Durchmesser. Die Bohrung einer erwärmten Nabe wächst wie der Durchmesser einer erwärmten Welle. Darauf beruht das Schrumpffügen.

Beispiel

Ein Stahlprofil von 10 Metern Länge erwärmt sich um 50 Grad. Die Verlängerung beträgt 12 × 10⁻⁶ × 10 × 50 = 0,006 m, also 6 mm. Als Merkzahl wächst Stahl etwa 1,2 mm je Meter und 100 Grad. Aluminium wächst ungefähr doppelt so stark.

Was geschieht bei behinderter Ausdehnung?

Ein beidseitig festgehaltenes Bauteil kann sich nicht verlängern. Es entsteht σ = E × α × ΔT, unabhängig von der Länge. Bei Stahl ergibt eine Erwärmung um 50 Grad die Druckspannung 210 000 × 12 × 10⁻⁶ × 50 = 126 MPa. Deshalb erhalten lange Rohrleitungen, Schienen, Brücken und Stahlkonstruktionen Dehnfugen oder Kompensatoren.

Übermaßpassungen als Pressverbindungen und Schrumpfverbindungen

Wird eine etwas größere Welle in eine Nabe gefügt, entsteht ein Fugendruck. Sie überträgt Drehmoment durch Reibung. Nach Lamé gilt p = δ / (d × [(K_g + ν_g) / E_g + (K_m − ν_m) / E_m]). δ ist das Durchmesserübermaß. K_g und K_m hängen von den Durchmesserverhältnissen der Nabe und Welle ab. Das übertragbare Drehmoment beträgt T = μ × p × π × d × L × d / 2.

Bei 40 Mikrometern Übermaß, 50 mm Fügedurchmesser, einer Stahlnabe mit 100 mm Außendurchmesser und einer Vollwelle aus Stahl beträgt die Pressung 63 MPa und die Umfangsspannung an der Nabenbohrung 105 MPa. Für 20 Mikrometer Fügespiel muss die Stahlnabe 100 Grad über Umgebungstemperatur erwärmt werden: ΔT = (δ + c) / (α × d).

Grenzen

Der Koeffizient ändert sich mit der Temperatur, im Rechner bleibt er konstant. Die Reiter für Übermaßpassungen dienen der Vorbemessung. Glättungsverlust, Toleranzfeld, Fliehkrafteinflüsse und Ermüdung müssen gesondert nach Norm beurteilt werden. Die Wärmespannung entspricht vollständig behinderter Ausdehnung. Reale Auflager geben etwas nach, wodurch die Spannung sinkt. Nähert sich das Ergebnis der Streckgrenze oder kann ein schlankes Bauteil knicken, ist eine detaillierte Untersuchung erforderlich.