Materiewellenlänge nach de Broglie berechnen

Was ist die Wellenlänge nach de Broglie?

1924 wurde vorgeschlagen, dass Materieteilchen wie Elektronen ebenso Welleneigenschaften haben, wie Licht sowohl Wellenverhalten als auch Teilchenverhalten zeigt. Ein Teilchen mit Impuls p besitzt die Wellenlänge

λ = h / p

Dabei ist h die Planckkonstante (6,62607015 × 10⁻³⁴ J·s). Ist das Teilchen gegenüber Licht langsam, gilt p = m × v und damit λ = h / (m × v).

Aus kinetischer Energie und Spannung

Für ein langsames Teilchen mit kinetischer Energie K gilt p = √(2 × m × K), also λ = h / √(2 × m × K). Ein durch die Spannung V beschleunigtes Elektron gewinnt die Energie e × V. Seine Wellenlänge beträgt näherungsweise λ (nm) = 1,2264 / √V.

Beispiel

Ein durch 100 V beschleunigtes Elektron hat die Wellenlänge 1,2264 / √100 = 0,1226 nm oder 1,23 Å. Dies entspricht etwa dem Atomabstand in einem Kristall und erklärt die Beugung von Elektronen an Kristallen. Ein Basketball mit 0,65 kg und 10 m/s hat dagegen die Wellenlänge 6,626 × 10⁻³⁴ / 6,5 = 1,02 × 10⁻³⁴ m, viel zu klein zum Nachweisen.

Was ändert sich bei hoher Geschwindigkeit?

Nahe der Lichtgeschwindigkeit übersteigt der Impuls m × v: p = γ × m × v. Dieser Rechner verwendet immer den relativistischen Impuls und zeigt das klassische Ergebnis zum Vergleich. Bei einem Elektron mit 108 keV liefert die klassische Formel 3,73 pm, der korrekte Wert beträgt 3,55 pm.

Grenzen

Die Rechnung gilt für ein freies Teilchen. Die Massen stammen aus CODATA 2022. Der Spannungsmodus setzt einen Start aus der Ruhe ohne Energieverluste voraus.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Wellenlänge nach de Broglie aus einer Potentialdifferenz?

Die Beziehung nach de Broglie mit relativistischem Impuls ergibt beispielsweise 0,08671 nm für ein freies Elektron, das aus der Ruhe durch 200 V beschleunigt wird. Die gesamte elektrische Energie wird dabei als kinetische Energie angesetzt. Energieverluste und das Verhalten atomar gebundener Elektronen sind ausgeschlossen.

Mit diesen Werten berechnen