Linsengleichung und Spiegelgleichung berechnen

Linsengleichung und Spiegelgleichung

Für dünne Linsen und sphärische Spiegel gilt dieselbe Beziehung zwischen Gegenstandsweite, Bildweite und Brennweite:

1 / f = 1 / dₒ + 1 / dᵢ

f ist die Brennweite, dₒ der Abstand des Gegenstands von Linse oder Spiegel und dᵢ die Bildweite. Bei einem sphärischen Spiegel ist die Brennweite der halbe Krümmungsradius: f = R / 2.

Vergrößerung

m = −dᵢ / dₒ

Der Betrag der Vergrößerung gibt an, um welchen Faktor das Bild größer als der Gegenstand ist. Ihr Vorzeichen zeigt, ob es aufrecht oder umgekehrt ist. Die Bildhöhe beträgt hᵢ = m × hₒ.

Vorzeichenkonvention

Die Brennweite ist bei einer Sammellinse (konvex) und einem Hohlspiegel positiv, bei einer Zerstreuungslinse (konkav) und einem Wölbspiegel negativ.

Ein positives dᵢ bezeichnet ein reelles Bild, das auf einem Schirm aufgefangen werden kann. Ein negatives dᵢ bezeichnet ein virtuelles Bild.

Ein positives m bezeichnet ein aufrechtes, ein negatives m ein umgekehrtes Bild.

Beispiel

Steht ein Gegenstand 50 cm vor einer Sammellinse mit 10 cm Brennweite, gilt 1 / dᵢ = 1/10 − 1/50 = 4/50 und damit dᵢ = 12,5 cm. Die Vergrößerung ist −12,5 / 50 = −0,25. Das Bild ist reell, umgekehrt und ein Viertel so groß wie der Gegenstand. Wird derselbe Gegenstand auf 5 cm Abstand innerhalb der Brennweite verschoben, ergibt sich dᵢ = −10 cm mit m = +2. Das Bild ist virtuell, aufrecht und doppelt so groß. So funktioniert eine Lupe.

Sonderfälle

Steht der Gegenstand genau im Brennpunkt, treten die Strahlen parallel aus. Das Bild liegt im Unendlichen. Eine Zerstreuungslinse oder ein Wölbspiegel erzeugt von einem reellen Gegenstand stets ein virtuelles, aufrechtes und verkleinertes Bild.

Grenzen

Die Gleichung gilt für dünne Linsen und achsennahe Strahlen. Für dicke Linsen, Linsensysteme und Spiegel mit großer Öffnung ist sie nur eine Näherung.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Bildweite mit der Spiegelgleichung?

Bei einem Hohlspiegel mit 10 cm Brennweite und einem Gegenstand 30 cm davor beträgt die Bildweite beispielsweise 15 cm und die Vergrößerung -0,5. Ziehen Sie den Kehrwert der Gegenstandsweite vom Kehrwert der Brennweite ab und bilden Sie den Kehrwert des Ergebnisses. In der paraxialen Näherung entsteht ein reelles, umgekehrtes Bild. Abbildungsfehler bei großen Öffnungen bleiben unberücksichtigt.

Mit diesen Werten berechnen