Harmonische Schwingung berechnen

Was ist eine harmonische Schwingung?

Ein Körper führt eine harmonische Schwingung aus, wenn er unter einer zur Auslenkung proportionalen Rückstellkraft um eine Gleichgewichtslage schwingt. Bekannte Beispiele sind eine Masse an einer Feder und ein Pendel bei kleinen Winkeln. Der Ort folgt zeitlich einer Kosinusfunktion oder Sinusfunktion.

Formeln

• Kreisfrequenz: ω = 2 × π / T = 2 × π × f
• Ort: x = A × cos(ω × t + φ)
• Geschwindigkeit: v = −A × ω × sin(ω × t + φ)
• Beschleunigung: a = −ω² × x
• Höchstgeschwindigkeit: A × ω, maximale Beschleunigung: A × ω²

A ist die Amplitude, T die Periodendauer, f die Frequenz und φ die Anfangsphase.

Wo sind Geschwindigkeit und Beschleunigung am größten?

Beim Durchgang durch die Gleichgewichtslage ist die Geschwindigkeit am größten und die Beschleunigung null. An den Umkehrpunkten ist es umgekehrt: Die Geschwindigkeit ist null, die Beschleunigung maximal und zur Gleichgewichtslage gerichtet. Ihr Vorzeichen ist stets dem der Auslenkung entgegengesetzt.

Beispiel

Bei einer Amplitude von 10 cm und einer Periodendauer von 2 s gilt ω = π rad/s. Eine Drittelsekunde nach dem Loslassen aus der Umkehrlage beträgt die Phase 60 Grad. Der Ort ist 10 × cos 60° = 5 cm, die Geschwindigkeit −0,1 × π × sin 60° = −0,272 m/s und die Beschleunigung −π² × 0,05 = −0,493 m/s². Die Höchstgeschwindigkeit beträgt 0,314 m/s.

Anfangsphase

Die Phase legt den Ort bei t = 0 fest. Beim Loslassen aus der Umkehrlage gilt φ = 0. Startet der Körper in der Gleichgewichtslage in positiver Richtung, gilt φ = −90°. Die Schreibweise x = A sin(ωt) entspricht hier einer Eingabe von φ = −90°.

Grenzen

Die Rechnung gilt für ungedämpfte lineare Schwingungen. Reibung lässt die Amplitude mit der Zeit abnehmen. Bei großen Pendelwinkeln hängt die Periodendauer von der Amplitude ab und die Bewegung ist nicht mehr genau harmonisch.