Calculateur de mouvement harmonique simple

Définition du mouvement harmonique simple

Un objet effectue un mouvement harmonique simple lorsqu’il oscille autour d’une position d’équilibre sous une force de rappel proportionnelle à son déplacement. Une masse reliée à un ressort et un pendule aux petits angles en sont les exemples les plus connus. La position varie dans le temps selon un cosinus ou un sinus.

Formules

• Pulsation : ω = 2 × π / T = 2 × π × f
• Position : x = A × cos(ω × t + φ)
• Vitesse : v = −A × ω × sin(ω × t + φ)
• Accélération : a = −ω² × x
• Vitesse maximale : A × ω, accélération maximale : A × ω²

A est l’amplitude, T la période, f la fréquence et φ la phase initiale.

Maximum de vitesse et d’accélération

Au passage par l’équilibre, la vitesse est maximale et l’accélération nulle. Aux extrémités, c’est l’inverse : la vitesse est nulle et l’accélération maximale, dirigée vers l’équilibre. L’accélération a toujours le signe opposé à celui de la position.

Exemple

Pour une amplitude de 10 cm et une période de 2 s, ω = π rad/s. Un tiers de seconde après le lâcher depuis une extrémité, la phase vaut 60 degrés : la position est 10 × cos 60° = 5 cm, la vitesse −0,1 × π × sin 60° = −0,272 m/s et l’accélération −π² × 0,05 = −0,493 m/s². La vitesse maximale vaut 0,314 m/s.

Phase initiale

La phase fixe la position de l’objet à t = 0. Pour un lâcher depuis une extrémité, φ = 0. Pour un départ à l’équilibre dans le sens positif, φ = −90°. Si votre manuel écrit x = A sin(ωt), cela revient à saisir φ = −90° ici.

Limites

Le calcul concerne une oscillation linéaire sans amortissement. Avec des frottements, l’amplitude diminue au cours du temps. Pour un pendule aux grandes amplitudes, la période dépend de l’amplitude et le mouvement n’est plus exactement harmonique.